击倒中国奥数队的第三道几何题是什么鬼 | 能聊

博客天下 2015-07-21

由一个印度人和两个华人组成的美国奥数队击败了中国队,获得了冠军。


文:扬森 包北


7月16日,第56届国际数学奥林匹克大赛在泰国闭幕,中国队因为第三题的失误导致总分落后美国队4分获得团体亚军,美国队获得了21年来的首个数学奥赛冠军。


正在计划参加大选的杰布·布什也第一时间祝贺美国队夺冠。美帝号称世界头号科技强国,可已21年无冠(悲惨程度可堪阿森纳),面子实在挂不去,而今在清迈扬眉吐气,这一消息着实能让美国人民大为振奋啊!



不是不会,而是没时间了


中国队此次在第一天比赛的最后一题遭遇滑铁卢。这是一道几何题:


“在锐角三角形ABC中,AB>AC.设Γ是它的外接圆,H是它的垂心,F是由顶点A处所引高的垂足.M是边BC的中点.Q是Γ上一点,使得∠HQA=90°,K是Γ上一点,使得∠HKQ=90°.已知点A,B,C,K,Q互不相同,且按此顺序排列在Γ上.


证明:三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.”


原题没有图,但是中国奥数国家队提供了一张图,出来是这种效果。




题干越短,题目越变态,比如,“证明上帝存在。”


中国队不是不会做这道题,而是在前两题中花了太多时间。


国际数学奥林匹克大赛一般要举办两天,一共6道题,一天考3道,每场考试都是4小时30分钟。一题满分7分,满分42分。


至于难度呢?据说大多数数学专业的大学生都不能解答这些题目,国际奥赛是只允许中学生参加的!


《卫报》是这样说的:普通人只要能做出一题,都可以被称为“天才”。


如果你能解答这道题,请速与本刊联系,前五名发回正确答案的读者可以获赠新一期《博客天下》一本。



“奥数”和乒乓一样:都是中国人的天下


自1985年中国第一次参赛以来,30届国际奥数比赛中国队夺得了19次冠军,名次一直靠前。而在美国队、加拿大队、澳大利亚队等“列强”阵中也常常能看到华裔身影。


这支夺冠的美国队阵中就有两名华裔队员。



汉室宗亲:后排左数第二叫 Yang Liu,前排左边的叫 Allen Liu


亚裔学生,尤其是华裔学生,往往以数理科目的优秀著称,其中有的第二代移民根本没有“中关村三小”的加持,他们表现优异的原因很多:


1.工程师和科学家是可以通过努力而达到的社会阶层。


2.和黑人白人同学的运动特长相比,数理不需要那么多的肌肉力量天分。



56届奥赛,社会主义拿了46次冠军


社会主义国家特别喜欢,也特别擅长奥数比赛。


1959年,第一届国际奥数比赛在罗马尼亚社会主义共和国举行,到1978年的第二十届奥数比赛,除了第十八届在被看做缓冲区的奥地利之外,都是在社会主义国家举办的。第二十一届(1979年)奥赛在伦敦举行。1980年,原定在蒙古举行的国际奥数比赛因为蒙古国内内乱取消,之后,奥数比赛开始突破在东欧举办的传统,走向全球化。


前18届奥赛中,苏联老大哥拿了9冠,匈牙利6冠,捷克斯洛伐克和民主德国各拿1冠。


在56届奥赛的历史中,非社会主义国家只拿了12次冠军,其中有2次是并列,这其中还包括苏东巨变之后的俄罗斯、保加利亚……



数学强则国强


二战之前美国的数学远落后欧洲,大量犹太裔数学家被德国纳粹迫害移居美国,事实证明,这些数学家为美国打赢二战成为世界第一强国做出了巨大贡献。


俄国数学从19世纪崛起,苏联政权十分重视以数学为基础的科学发展,根据官方统计,上世纪70-80年代苏联科学工作者的数量曾达到150万人左右,整个科学和科学服务领域的工作人员人数则为450万人,也就是说几乎占国民经济从业人数的4%。70年代初,苏联国民经济的1万名就业人数中就有100名科研工作者,相比之下美国为71人,英国为49人。苏联在美国之前率先发射了人造卫星,并把宇航员送进了太空。


数学家的地位也是一种政治信号,改革开放后,“文革”中被打倒的数学家苏步青、华罗庚和陈景润成为了第一批平反对象,也成了当时的时代偶像。



怎样才能成为奥赛国家队队员


现在,在国内参加国际数学奥赛的中国少年,他们要经历“全国数学竞赛”,组成省队参加“中国数学奥赛”,在这次奥赛中拔尖的20人会参加到夏令营中,最终产生6名佼佼者,成为国家队选手。


其实,在“国际奥数竞赛”中,大多数国家,包括美国,都是通过这样的渠道选拔人才的。


欧洲一些国家重视机会公平,会通过相对简单的入门考试选拔一些学生参加一年或半年的夏令营,让学生先进行训练,再进行高强度测试。



会解题未必就是数学家


奥赛能选出爱好者和有天赋的年轻人,但是太注重奖牌,把“数学”窄化成“解题”,不把研究重点放在前沿的数学研究而让学生沉溺题海,也难免扼杀人才。


前苏联的小学生在毕业时,可以从全国公开发行的一本数学物理科普杂志Quant (KBAHT)中得到一份试题,如果对数学感兴趣,可以做题然后将试卷寄给组织,优秀的学生会进行面试。面试被选中的同学将进入所谓的“专业中学”。在这之后,还有若干轮筛选,真正对数学感兴趣的学生,会在中学期间将一半课时投入到数学中,他们还有苏联的顶尖数学大师开小灶。


这些学生没有奖牌的压力,在大学前,却已经能在数学领域独树一帜。苏联解体后,一些学生移民西方,成为了优秀的科学工作者。


在中国,小升初一度是奥数比拼的主战场,1980年之后出生的人也许都赶上了这个时代,不过小学奥数的解题往往套路化更严重,到日后真正从事和科学相关工作的人恐怕不多,不过奥数仍然会给所有接触它的人提供一门技艺。


走夜路遇到神鬼妖狐或者狮身人面像的时候,可以放心大胆地对对方说:“笼子里有20只鸡和兔,30只脚和10个头。一共有多少鸡,多少兔呢?”然后趁着对方掰手指头的时候,抬脚就跑。




原题:


第1题

我们称平面上一个有限点集ς是平衡的,如果对ς中任意两个不同的点A,B,都存在ς中一点C,满足AC=BC.我们称ς是无中心的,如果对ς中任意三个不同的点A,B,C,都不存在ς中一点P,满足PA=PB=PC.


(a)证明:对每个整数n≥3,均存在一个由n个点构成的平衡点集.


(b)确定所有的整数n≥3,使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集.



第2题

确定所有三元正整数组(a,b,c),使得

ab-c,bc-a,ca-b

中的每个数都是2的方幂

(2的方幂是指形如2^n的整数,其中n是一个非负整数.)



第3题

在锐角三角形ABC中,AB>AC.设Γ是它的外接圆,H是它的垂心,F是由顶点A处所引高的垂足.M是边BC的中点.Q是Γ上一点,使得∠HQA=90°,K是Γ上一点,使得∠HKQ=90°.已知点A,B,C,K,Q互不相同,且按此顺序排列在Γ上.


证明:三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切.



第4题

在三角形ABC中,Ω是其外接圆,O是其外心.以A为圆心的一个圆Γ与线段BC交于两点D和E,使得点B,D,E,C互相不同,并且按此顺序排列在直线BC上.设F和G是Γ和Ω的两个交点,并且使得点A,F,B,C,G按此顺序排列在Ω上.设K是三角形BDF的外接圆和线段AB的另一个交点.设L是三角形CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.


假设直线FK和GL不相同,且相交于点X,证明:X在直线AO上.



第5题

设R是全体实数的集合.求所有的函数f:R→R,满足对任意实数x,y,都有

f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x).



第6题

整数序列a(1),a(2),…满足下列条件:


(i)对每个整数j≥1,有1≤a(j)≤2015;


(ii)对任意整数1≤K<l,有k+a(k)≠l+a(l).(注,括号中为下标)


证明:存在两个正整数b和N,使得


对所有满足n>m≥N的整数m和n均成立.





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