“希望杯”备考题选讲之奇偶分析

欧拉数学苑 欧拉数学荟 2017-03-29
荟思

有些好像很难找到头绪的问题,用奇偶分析法却可能起到“四两拨千斤”的神奇效果。事实上,很多数论方法常常都能给人意外的惊喜。



奇偶分析的方法,在数学方法中属于神龙见首不见尾的一类。你要问奇偶分析法能解什么类型的问题,答案就是......跟奇偶性有关的问题。是不是感觉像没说一样?奇偶分析法之所以如此神出鬼没,原因在于题目中涉及的数量的奇偶性通常都是藏在其他的表面条件之下,因此我们往往会先用其他方法去尝试解题。

我们在3月16日选择了一组“希望杯”备考题(详见“希望杯”备考题精选),其中的第3和第4题都是可以用奇偶分析法解决的。先来看第3题。

沿着小路有8个果园,任意相邻的两个果园中苹果树的棵数都相差1。这8个果园中苹果树的总棵数能是225棵吗?为什么?

题目中给出的条件,一个是相邻果园的苹果树数量相差1,一个是所有果园的苹果树数量之和。由于相差1可以是多1也可以是少1,所以这些果园的果树数量的可能情况是很多的。理论上我们可以使用枚举法,因为可能性仍然是有限多,但显然枚举法对于这道题来说不会是一个好的解法。

在这个问题中,奇偶性是隐藏在“相差1”这个条件里。如果两个数相差1,那么它们必然是一奇一偶。如果第一个果园有奇数棵苹果树,那么第二个果园不管比第一个果园多1棵还是少1棵果树,数量都必然是偶数。进而第三个果园有奇数棵果树,...。于是八个果园的苹果树数量正好是四奇四偶,总和应该是偶数。而255是奇数,所以不可能是这个总和。如果第一个果园的苹果树是偶数棵,那么八个果园的果树数量仍然是四奇四偶,可以得到同样的结论。

这道题还可以进行改编。把果园数量改成其他4的倍数,例如16,24等,把果树数量相差1棵改成相差奇数棵(如3,7等),把225改成其他奇数,都不影响上述奇偶分析法的使用。另一种改编方法是把果园数量设定为偶数,而相邻两个果园的苹果树相差2棵,苹果树总数设定为奇数,也可以使用奇偶分析法推出矛盾。

相比于果园问题,下面这题的奇偶性可能隐藏得更深些。

能在9×100的方格表中的所有方格内都填入一个非零自然数,使得每行所填数的和、每列所填数的和都是质数吗?为什么?

在这个问题里涉及的数很多(900个),耦合关系也很多(每行每列的和都必须是质数)。按照化繁为简的原则,在没有明确的头绪之前,可以先尝试较小规模的表格,例如6×5或者3×2。然而尝试的结果,有些表格可以做到,有些做不到。如果不能从中找到填写的规律,表格的规模稍微增大一点就很难填下去了。

在条件的设定上,这个问题有两个难点。第一是表格规模较大,基本上堵住了枚举法的路,必须找出填写规律。第二是要求每行每列的和为质数。“质数”这个条件其实是一个障眼法,真实的条件应该是“奇数”。但如果直接写奇数,就比较容易让人联系到奇偶分析。需要注意的是,虽然质数不全是奇数,2是唯一的一个例外情形,但2显然不可能在这里作为行和或列和。

如果要使用奇偶分析法,必须利用一个关键条件——表格的行数和列数是一奇一偶。当然这是题目不会直接告诉我们的,我们看到的只是两个数字——9和100。好了,现在把表格里的数按行相加,所有数的和应该是9个奇数的和,所以是一个奇数。再把表格里的数按列相加,这次所有数的和等于100个奇数的和,应该是一个偶数。于是就产生了矛盾。无论我们怎样想办法去调整表格里的数,都不可能使所有数的和既是奇数又是偶数。

奇偶分析在本质上是一种数论方法,考察的是问题中涉及的数量的奇偶性,或者说关于2的余数特征。更一般的方法是考虑关于3,4甚至更大的数的余数性质,不过在应用上奇偶分析是用得最多的,所以有时也用奇偶分析统称这一大类方法。下面给出果园问题的另一个版本,大家想想可以怎么解决?

沿着小路有12个果园,任意相邻的两个果园中苹果树的棵数都相差3。这8个果园中苹果树的总棵数能是500棵吗?为什么?


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