“希望杯”备考题选讲之假设法

欧拉数学苑 欧拉数学荟 2017-03-31
荟思

假设法的思想简单但应用很广泛。我们在日常生活中也会无意识地使用假设法分析和解决问题。如果能够有意识地了解假设法的特点以及使用技巧,对于数学思维的构建将有很大的推动作用。



假设法是一种应用非常广泛的数学方法,不仅在小学数学的很多题型中经常使用,而且在数学体系的各个角落里都有它的身影。我们耳熟能详的和差问题、鸡兔同笼问题、盈亏问题,等等,其解法中都有假设法的思路。

什么是假设法?简而言之,就是问题中描述了一些数量关系,我们根据需要另外设定适当的数量关系,然后利用新设定的关系来解题。在我们选讲的“希望杯”备考题(详见“希望杯”备考题精选)中,第6和第8题都可以用假设法求解。先来看第6题。

松鼠妈妈和小松鼠各有一盒松子,妈妈盒子里的松子数量是小松鼠盒子里的松子数量的2倍,如果松鼠妈妈每天吃5枚松子,小松鼠每天吃3枚松子,那么当小松鼠的松子吃完时,妈妈还剩20枚松子。请问最初松鼠妈妈和小松鼠各有松子多少枚?

在这个问题中,关键的因素是天数。如何利用其他条件确定天数?把所有数量条件过完一遍,我们要问一个问题:为什么小松鼠把松子吃完了,妈妈还剩20枚松子?虽然妈妈每天比小松鼠吃的松子多,但妈妈的松子是小松鼠的2倍,所以最后妈妈反倒还能剩下一些松子。不难想到,如果妈妈每天吃的松子数量也是小松鼠的2倍,那么她们将恰好一起吃完各自的松子。

在题目中小松鼠每天吃3枚松子,那么松鼠妈妈如果每天吃6枚松子,就能和小松鼠一起吃完松子。题目中松鼠妈妈每天吃5枚松子,现在额外多吃的这一枚松子,就要从最后剩下的20枚松子中拿。吃多少天才能把20枚松子吃完?20÷(3×2-5)=20天。于是小松鼠应该有20×3=60枚松子,妈妈有60×2=120枚松子。

接下来看第8题。

一堆模具中长方形模具的数量是圆形模具的2倍。现要将它们装箱出售,每24个长方形模具和9个圆形模具合装一箱,如此装了若干箱后,长方形模具还剩8个,圆形模具还剩37个,求长方形模具共有多少个?

解决完松鼠吃松子的问题,对这个题目应该已经心里有数了。两种模具最开始的数量也是两倍的关系。不过这个问题比上一题多一个难处理的麻烦,就是两种模具都有剩余。但只要我们抓住两倍的比例关系这个本质因素,就不难找到解决办法。

两种模具最开始的数量是两倍关系,如果装箱是按照两倍的数量搭配,那么最后剩下的模具数量也是两倍的关系。由于长方形模具还剩8个,我们需要拿出4个圆形模具进行搭配,还剩下37-8÷2=33个圆形模具。按装箱要求,每个箱子24个长方形模具和9个圆形模具,还需要再放进去24÷2-9=3个圆形模具。因此箱子共有33÷3=11个。所以长方形模具有24×11+8=272个。验算:圆形模具有9×11+37=136个,刚好是长方形模具的一半。

最后再给一个可以用假设法求解的问题。

一批学生参加植树活动。若1名女生和2名男生分为一组,则多15名男生;若1名女生和3名男生分为一组,则多6名女生。那么,参加植树活动的男生和女生各多少名?

这道题是第12届“希望杯”小学四年级第二试的第12题。从问题形式看可以归类为盈亏问题,但不能套基本的盈亏问题公式。而根据我们建议的求解盈亏问题的办法,盈亏问题通常都是给出两种分配方案,我们应该对比这两种方案以找出其中的数量关系。在具体操作上,我们对其中一种方案进行调整,使之与另一种方案尽量接近。

对于这道题,我们首先按第一种方案进行分组,即每组包括1名女生和2名男生,分组完成后还剩下15名男生等待分配。现在我们解散6组人,让这些学生都进入待分配的区域。于是现在有6名女生和6×2+15=27名男生待分配。为了使每组中包含3名男生,我们将这27名男生按每组1人分到组里。根据第二种分配方案的结果,这些男生应该刚好分配完,所以在第二种分配方案中共有27÷(3-2)=27组学生,即男生有27×3=81人,女生有27+6=33人。



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