“希望杯”备考题选讲之李代桃僵

欧拉数学苑 欧拉数学荟 2017-04-02
荟思

数学方法中蕴含的是分析问题的思路,因此在很多方面与军事谋略往往不谋而合。优秀的将领能够以弱胜强,巧妙的解法则能够起到四两拨千斤的作用,将表面上看起来难以拆解的困境化为无形。



这次我们介绍“希望杯”备考题(详见“希望杯”备考题精选)中的第2和第5题的解法。各种数学公式给出的是重要的“典型问题”的解答方案,如果我们只懂得直接套公式,这不是数学学习的目的;但我们必须充分利用公式带来的便利,把不能直接套公式的问题转化为相关的典型问题来解答。

用2、5、5、6、6、9这六个数字可以组成多少个不同的六位数?其中有几个是5的倍数?

这类问题通常被归类为排列组合问题,在数学中属于组合学的范畴。排列组合问题的分析基础是加法原则和乘法原则,理论上所有排列组合问题都可以运用这两个原则解出来,而组合学的各种公式只不过是方便我们处理不同类型的组合问题,就像各种餐具方便我们取用不同的食物一样。

如果是用6个完全不同的数字来组成六位数,有现成的公式可以给出答案。这个问题的难点在于,数字5和6各有两个,由于它们的重复出现而对不同六位数的个数的影响不好估计。

为了分析这种影响究竟有多大,我们首先假定它们是不同的数字。设想我们是拿着6张数字卡片来摆六位数,我们在其中一张卡片5和一张卡片6上作标记,以表明跟另一个5和6的区别。为了文字说明的方便,我们把做了标记的5用A代替,6用B代替。当我们承认数字5和6是可以区分时,一共可以摆出6×5×4×3×2×1=720个六位数。

现在把标记去掉,我们发现这720个原本可以各自区分开的六位数中有一些就变得相同了。例如,255669这个数,既可以是由25A6B9去掉标记得到,也可以是由2A56B9得到,还可以是25AB69或者2A5B69。不难发现每个六位数实际上都恰好对应做过标记的4个数。所以当我们不做标记时,得到的不同的六位数共有720÷4=180个。

第一问做完后,第二问是完全类似的。首先把一个5固定放在个位上,然后其他5个数字组成五位数。由于有两个6,所以不同的五位数共有5×4×3×2×1÷2=60个,也就是有60个六位数是5的倍数。

已知ABCDEF六个人分别看了5、5、6、8、8、10场演出,成人票价单价是儿童票票价的2倍,已知票价都是整数元,门票共支出1026元,那么成人票单价是多少?

这个问题给的条件很多,但有一个不确定因素把这些条件之间的关系掩盖了——不知道谁是小孩谁是大人。相应于这个不确定因素,另一个条件可以帮助我们抓住这个不确定性——票价都是整数元。如果没有这个条件,那么谁是大人谁是小孩都有可能,问题也就完全没意义了。

由于成人票价是儿童票价的2倍,我们假设剧院没有成人票了,那么成人只能买两张儿童票作为入场凭据。现在统计六个人手里的票的总数,这个数应该是1026的约数(因为票价是整数元)。六个人都是儿童时他们手里的票的总数最少,是5+5+6+8+8+10=42张;都是大人时票的总数最多,是84张。所以我们现在要找1026的介于42和84之间的约数。

1026共有16个约数,从小到大排列为:

1,2,3,6,9,18,19,27,38,54,57,114,171,342,513,1026

因此只有两个约数符合要求:54,57。经验证只有57是符合题意的,此时A、B中有一人是成人,D、E中有一人是成人。进而可知儿童票价为18元,成人票价为36元。

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