“希望杯”备考题选讲之行程问题

欧拉数学苑 欧拉数学荟 2017-04-04
荟思

解数学题有时跟破案挺像的,要对各种线索抽丝剥茧,找到它们之间的关联性。行程问题的求解,经常需要画图理解,以及模拟行走过程来分析条件之间的关系。



在小学数学的各种题型中,行程问题是变化特别多的一类题型。尽管和差问题、倍数问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等题型也都有各种变化形式,但始终都是以其基本解法为核心。而行程问题不仅变化形式多得多,而且不同的题目解法差异性很大。事实上,这些解法中几乎可以找到前述各种题型的求解思路,可谓集小学数学思维之大成。

从解法的角度来看,将行程问题作为一种题型并不合适,因为不要说用一种解法,即使允许我们用五六种解法来概括行程问题的求解思路,都是做不到的。另一个例子是年龄问题,但年龄问题的变化相对于行程问题则少得多。我猜想,之所以还是将它们都列为一种题型来学习,是因为它们各自还是以一个最基本关系作为立足点。对于年龄问题来说,是每个人的年龄每年都必然增加一岁,这是始终成立的关系。而对行程问题来说,则是路程=速度×时间。在基本关系之上衍生出来的各种变化,固然还可以进行归纳总结,形成不同的子题型,但过于追求固定模式则不免僵化,又与数学学习的目标相悖了。

下面我们介绍“希望杯”备考题(详见“希望杯”备考题精选)中的第1和第7题的解法,它们都属于行程问题的范畴。先来看第7题。

甲、乙两车分别从A、B两地同时同向而行,已知甲车的速度是乙车速度的2倍,甲车8:00到达途中C地,乙车14:00到达C地。甲车到达C地后不停车,继续前行,问两车相遇时是什么时刻?

这个题目给的条件比较特别。关于速度的条件,只给出两辆车的速度是2倍关系。距离没有给出任何条件。时间则给的是两辆车到达途中某个位置的时间。

暂时没有什么头绪时,一个常用的手段是还原“事发现场”。解数学题有时跟破案也挺像的,要对各种线索抽丝剥茧,找到它们之间的关联性。想象一下两辆车分别从两地出发,甲车在8点到达C地,此时乙车还没到达C,因为根据条件,它还需要6个小时才能到。接下来两车还要继续前进直到相遇。它们的相遇时间肯定早于14点,因为乙车单独走完这段路才需要6个小时。

这个观察提醒了我们,甲车到达C点是个关键的时间点。如果甲车到达C后停下来,那么乙车需要过6小时才能与甲车相遇。而题目问的是甲车继续前行,什么时候能与乙车相遇。同一段路,两种行车方案,我们可以进行对比。在相遇问题中,路程=相对速度×时间。当甲车停在C地时,相对速度就是乙车的速度;否则,相对速度是两车的速度之和。根据题目条件,后者的相对速度是前者的3倍,所以前者的时间应该是后者的3倍。由于乙车单独走完这段路需要6小时,所以两车过2小时相遇,即10点整相遇。

甲、乙两站分别是1路电车的起点和终点站,每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程要走15分钟。小李从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站,他出发时,恰好有一辆电车到达乙站,途中遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出。小李从乙站到甲站用了多少分钟?

虽然题目问的是小李从乙站到甲站的时间,但不难看出来,我们只需要数清楚从甲站出发的车的数量就可以算出时间。以电车行驶5分钟的距离为一段,可将全程分为3段,所以小李在途中遇到的第3辆车和他同时出发。以后每发出一辆车,时间就过去5分钟。需要注意的是,第10辆车也是与小李在途中相遇,所以小李在到达甲站时,从车站开出的是第11辆车。

综上所述,小李出发的时间是第3辆车的发车时间,到达时间是第11辆车的发车时间,所以小李走完全程的时间这两辆车的发车间隔,即5×(11-3)=40分钟。


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