漫画:寻找无序数组的第k大元素(修订版)

小灰 梦见 2019-01-04

本文修改了两个细节:

1.方法二中,插入数组A的条件是遍历到的元素“大于”数组A的最小元素,而非”小于”。

2.方法三中,节点24从小顶堆下沉的时候,应该和节点17交换,而不是和节点20交换。

在此感谢大家的指正。



—————  第二天  —————




题目是什么意思呢?比如给定的无序数组如下:



如果 k=6,也就是要寻找第6大的元素,这个元素是哪一个呢?


显然,数组中第一大的元素是24,第二大的元素是20,第三大的元素是17 ...... 第6大的元素是9



方法一:排序法

这是最容易想到的方法,先把无序数组从大到小进行排序,排序后的第k个元素,自然就是数组中的第k大元素。






方法二:插入法

维护一个长度为k的数组A的有序数组,用于存储已知的k个较大的元素。

接下来遍历原数组,每遍历到一个元素,和数组A中最小的元素相比较,如果小于等于数组A的最小元素,继续遍历;如果大于数组A的最小元素,则插入到数组A中,并把曾经的最小元素“挤出去”。


比如k=3,先把最左侧的7,5,15三个数有序放入数组A当中,代表当前最大的三个数。


这时候,遍历到3, 由于3<5,继续遍历。


接下来遍历到17,由于17>5,插入到数组A的合适位置,类似于插入排序,并把原先最小的元素5“挤出去”。


继续遍历原数组,一直遍历到数组的最后一个元素......


最终,数组A中存储的元素是24,20,17,代表着整个数组中最大的3个元素。此时数组A中的最小的元素17就是我们要寻找的第k大元素。




————————————







什么是二叉堆?不太了解的小伙伴可以先看看这一篇:漫画:什么是二叉堆?(修正版)


简而言之,二叉堆是一种特殊的完全二叉树,它包含大顶堆和小顶堆两种形式。


其中小顶堆的特点,是每一个父节点都小于等于自己的子节点。要解决这个算法题,我们可以利用小顶堆的特性。




方法三:小顶堆法

维护一个容量为k的小顶堆,堆中的k个节点代表着当前最大的k个元素,而堆顶显然是这k个元素中的最小值

遍历原数组,每遍历一个元素,就和堆顶比较,如果当前元素小于等于堆顶,则继续遍历;如果元素大于堆顶,则把当前元素放在堆顶位置,并调整二叉堆(下沉操作)。

遍历结束后,堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值,也就是第k大元素


假设k=5,具体的执行步骤如下:


1.把数组的前k个元素构建成堆。



2.继续遍历数组,和堆顶比较,如果小于等于堆顶,则继续遍历;如果大于堆顶,则取代堆顶元素并调整堆。


遍历到元素2,由于 2<3,所以继续遍历。



遍历到元素20,由于 20>3,20取代堆顶位置,并调整堆。





遍历到元素24,由于 24>5,24取代堆顶位置,并调整堆。





以此类推,我们一个一个遍历元素,当遍历到最后一个元素8的时候,小顶堆的情况如下:



3.此时的堆顶,就是堆中的最小值,也就是数组中的第k大元素。




这个方法的时间复杂度是多少呢?


1.构建堆的时间复杂度是 O(k)

2.遍历剩余数组的时间复杂度是O(n-k)

3.每次调整堆的时间复杂度是 O(logk)


其中2和3是嵌套关系,1和2,3是并列关系,所以总的最坏时间复杂度是O((n-k)logk + k)。当k远小于n的情况下,也可以近似地认为是O(nlogk)



这个方法的空间复杂度是多少呢?


刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示,是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话,我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆,这样就免去了开辟额外的存储空间。


因此,方法的空间复杂度是O(1)



  1. /**

  2. * 寻找第k大的元素

  3. * @param array  待调整的堆

  4. * @param k  第几大

  5. */

  6. public static int findNumberK(int[] array, int k){

  7.    //1.用前k个元素构建小顶堆

  8.    buildHeap(array, k);

  9.    //2.继续遍历数组,和堆顶比较

  10.    for(int i=k; i

  11.        if(array[i] > array[0]){

  12.            array[0] = array[i];

  13.            downAdjust(array, 0, k);

  14.        }

  15.    }

  16.    //3.返回堆顶元素

  17.    return array[0];

  18. }


  19. /**

  20. * 构建堆

  21. * @param array  待调整的堆

  22. * @param length  堆的有效大小

  23. */

  24. private static void buildHeap(int[] array, int length) {

  25.    // 从最后一个非叶子节点开始,依次下沉调整

  26.    for (int i = (length-2)/2; i >= 0; i--) {

  27.        downAdjust(array, i, length);

  28.    }

  29. }


  30. /**

  31. * 下沉调整

  32. * @param array     待调整的堆

  33. * @param index    要下沉的节点

  34. * @param length    堆的有效大小

  35. */

  36. private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {

  37.    // temp保存父节点值,用于最后的赋值

  38.    int temp = array[index];

  39.    int childIndex = 2 * index + 1;

  40.    while (childIndex < length) {

  41.        // 如果有右孩子,且右孩子小于左孩子的值,则定位到右孩子

  42.        if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {

  43.            childIndex++;

  44.        }

  45.        // 如果父节点小于任何一个孩子的值,直接跳出

  46.        if (temp <= array[childIndex])

  47.            break;

  48.        //无需真正交换,单向赋值即可

  49.        array[index] = array[childIndex];

  50.        index = childIndex;

  51.        childIndex = 2 * childIndex + 1;

  52.    }

  53.    array[index] = temp;

  54. }



  55. public static void main(String[] args) {

  56.    int[] array = new int[] {7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};

  57.    System.out.println(findNumberK(array, 5));

  58. }



方法四:分治法

大家都了解快速排序,快速排序利用分治法,每一次把数组分成较大和较小的两部分。

我们在寻找第k大元素的时候,也可以利用这个思路,以某个元素A为基准,把大于于A的元素都交换到数组左边,小于A的元素都交换到数组右边。


比如我们选择以元素7作为基准,把数组分成了左侧较大,右侧较小的两个区域,交换结果如下:



包括元素7在内的较大元素有8个,但我们的k=5,显然较大元素的数目过多了。于是我们在较大元素的区域继续分治,这次以元素12位基准:




这样一来,包括元素12在内的较大元素有5个,正好和k相等。所以,基准元素12就是我们所求的。


这就是分治法的大体思想,这种方法的时间复杂度甚至优于小顶堆法,可以达到O(n)。有兴趣的小伙伴可以尝试用代码实现一下。





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