数学史融入初中课堂的案例研究

曾峥 等 数学教育学报JME 2019-03-26

引用格式:曾峥,杨豫晖,李学良.数学史融入初中课堂的案例研究[J].数学教育学报,2019,28(1):12-18.

作者信息                

曾峥1,杨豫晖1,李学良2                

(1.佛山科学技术学院,广东 佛山  528000;2.佛山市南海区南海实验中学,广东 佛山  528000)

曾峥(1962—),男,广东蕉岭人,教授,硕士研究生导师,主要从事数学史、数学文化和数学教育的研究.

基金项目                

佛山市教育局教育科学规划2017年度专项课题——初中数学教师课程资源开发:现状、问题及对策(FSGH201711)


摘要        
目前,初中数学课堂教学过于强调让学生掌握数学内容知识和培养学生的数学推理能力,忽略了引导学生理解数学的现状和历史发展,以及培养学生对数学的积极态度.从长远来看,这会导致学生对数学的片面认知,也不利于数学文化的传承.数学史融入初中数学课堂教学的做法可以让学生理解数学的现状和发展历史,培养学生对数学的积极态度.研究提供了数学史融入初中数学课堂的方法,进行了数学史融入初中课堂的案例研究,包括加深数学概念的理解,避免数学家的错误重现以及导入新课提高学习兴趣3个方面的研究,为初中数学教师提供教学参考.


关键词:数学史;初中数学教学;教学方法;案例研究
中图分类号:G633.6  文献标识码:A  文章编号:1004–9894(2019)01–0012–07

美国数学教育家Wilkins[1]认为数学教育的目标是让每个学生都应该:(1)掌握数学内容的知识;(2)具有数学推理能力;(3)承认数学的实用性和社会影响;(4)理解数学的现状和历史发展;(5)对数学有积极的态度.依此标准审视国内数学教育现状,恐怕后两条是最令人担忧的.尽管新课程改革给基础教育带来新气象,但是因考试的指挥棒而被动、机械学习数学的情况并未得到有效改善.

数学史融入初中数学课堂教学可以让学生理解数学的现状和发展历史,培养学生对数学的兴趣和积极态度.相关研究可以分为两大类,一类研究认为数学课堂中有效渗透数学史是一种教学手段,可以培养和保持学生的数学学习积极态度.比如,Jones[2]认为,在课堂中渗透数学史可以作为一种教学手段来改善学生对数学的态度;McBride[3]发现,每节课给学生讲五分钟数学故事,可以让学生保持对数学学习的热情,激发学生学习动机,培养学生对数学的积极态度;Fauvel[4]积极提倡通过在课堂中融入数学史来改善学生的数学观,培养学生对数学的积极态度;Liu Po-Hung[5]等学者呼吁一线教师需要在课堂中使用数学史来提高学生的学习动机,培养学生对数学的积极态度.另一类研究认为数学课堂教学有效渗透数学史能够改变学习方式,提高学生的数学学业成就.比如,新加坡学者Wee Leng NG[6]发现,在初二数学课堂中渗透秦九韶的名著《数书九章》,可以极大地提高学生的数学成绩和科学成绩;Schiefele[7]等发现,让学生特别是新加坡的华裔学生,学习中国古代数学家的经典作品,可以增加他们对数学的学习兴趣,同时也可以提高学生的成绩;Katz[8]认为,在课堂中使用数学史可以培养学生积极的学习心向,让学生理解数学的现状和发展历史,提供多元的学习方式.数学史对数学教育的意义已经是许多数学教育家的共识:利用数学史可以激发学生的学习兴趣,培养学生的数学精神,启发学生的人格成长,预见学生的认知发展,促进学生对数学的理解和对数学价值的认识,构筑数学与人文之间的桥梁[9]

那么,如何在数学课堂教学中有效渗透数学史呢?国内外学者也进行了相关研究,Jankvist[10]认为,数学史在课堂中使用的路径分为:数学史作为教学工具和数学史作为教学目标.他认为数学史融入课堂的教学方法分为:基于历史法、历史启发法和模块教学法;学生学习数学史的方式分为:数学史工作单、模块学习和学生学习计划.汪晓勤[11]认为,数学史融入课堂的教学方式是:重构式、附加式、顺应式和复制式.Tzanakis、ArcaviJ[12]等提出,数学史的融入方法是:提供历史材料,讨论数学话题和发展数学意识.

基于以上研究,依据北师大版《义务教育教科书•数学•七年级上》[13]的内容,精心选取对应的数学史、数学趣闻和数学文化读物,综合以上所提及的数学课堂渗透数学史的路径,经过教学设计、课堂实施和课后反思形成相应案例,拟为初中数学教师提供切实的教学参考.


1渗透数学史  掌握核心概念

如果教师把数学仅仅视作一种技能或者一件工具去传授,这样做纵使传授了有关知识,亦必掩盖了数学作为文化活动的面目[14].数学是一门累积起来的学科,它将永远融会于它的过去以及未来当中[14].数学教师应该利用数学史来展示数学概念的来龙去脉,帮助学生理解数学概念的历史和现状,进而教师能更好传授数学知识,学生能更好理解数学核心概念[14]

1.1    “有理数”相关概念的教学

在“2.1有理数”的教学中,“负数”和“有理数”作为这一章的重点内容和核心概念,一直是学生学习的重点和难点.有关负数的概念,最早记载于名著《九章算术》[15]中,书中提出了“正负术”,“术曰:如方程,各置所取,以正负术入之”.《九章算术》的第八章“方程”中,把“卖(收入钱)”作为正,则“买(付出钱)”作为负,把“余钱”作为正,则“不足钱”作为负.在关于粮谷计算的问题中,是以“益实(增加粮谷)”为正,以“损实(减少粮谷)”为负.中国数学家刘徽[15]在《九章算术》的“正负术”的注文中给出了正负数的定义:“今两算得失相反,要令正、负以名之.”意思是说,在计算过程中遇到具有相反意义的量,要用正数和负数来区分它们.教师在课堂中讲述负数的历史,融入《九章算术》中的实例和定义,让学生对“负数”概念的理解更加深入.在“有理数”的教学中,教师介绍有理数的起源和传播,把“有理数”的历史称为“一场美丽的误会”,来还原“有理数”概念的本来面目.通过有理数的历史,教师可以帮助学生澄清头脑中对“有理数”的错误理解,帮助学生掌握有理数的概念.

讲述“有理数”的历史发展,教师可以从古希腊的毕达哥拉斯学派[16]开始讲起,该学派提出“万物皆数”的著名命题[16],而这里的“数”指的就是有理数.该学派的数学信仰是“一切数都可以表示成整数或整数之比”[16].根据该学派的规定,“有理数”其实更应该称为“可比数”或“成比例的数”.在欧几里得的《几何原本》中,“ (有理数)”的意思是“成比例的数”.1574年,有“十六世纪的欧几里得”之称的克拉维乌斯(Christopher Clavius)编著了拉丁语版的《欧几里得原本十五卷》(Euclidis Elementorum Libri XV)[17].在拉丁语版的《欧几里得原本十五卷》中,克拉维乌斯将“λογος”翻译为“proportio”,取“可比数”之意[18],中世纪的数学家通常用拉丁文词根“proportio”表示“ratio(比)”和“proportionalitas(比例)”[18].同时,克拉维乌斯也用拉丁文词根“ratio”表示“比、比例”的意思.英国的数学家翻译时,选取拉丁文“ratio”作为词根进行“有理数”的翻译,全称是“rational number”,意思是“可比数”.

1607年,中国数学家徐光启和西方传教士利玛窦(Matteo Ricci)根据克拉维乌斯的《欧几里得原本十五卷》翻译成古汉语的《几何原本》[19].在《几何原本》[19]中,他们将有理数“proportio”翻译为古汉语中的“理”,这里的“理”意思是“比值”,徐光启和利玛窦的翻译也是忠于毕达哥拉斯学派对于“有理数”的原意来翻译的.可是“有理数”传播到日本的时候出现了偏差,在明治维新之前,日本关于欧洲数学的论著研究,基本上都是采用中国译本.日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了“理”,而不是古汉语所解释的“比值”.后来,日本学者直接用错误的“理”翻译出了“有理数”,可谓差之毫厘、谬以千里.当“有理数”从日本传回中国时又延续这个错误,清末中国派留学生到日本,将“有理数”传回中国,因此现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法.可见,由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位,才出现了“美丽的误会”.因此,“有理数”的原意是指“成比例的数”,而不是学生想象中的“有道理的数”,教师帮助学生澄清“有理数”这一概念,可以更好地协助学生掌握有理数的概念.同时,数学教师应根据“有理数”翻译的历史,让学生理解和体会“有理数”概念的历史和现状,引导学生深入理解数学概念的内涵.

1.2    “有理数的乘方”相关概念的教学

在“2.9有理数的乘方”的教学中,“幂”作为这一节的核心概念,是学生学习的难点,也是学生比较容易困惑的地方.学生通常会对“乘方”“幂”“指数”等概念产生混淆,教师在课堂中融入数学史可以很好地解决这一问题.刘徽[15]在《九章算术》中用“幂”表示指数.在中国古代称“一数自乘”为“方”,而“乘方”一词则是在宋代以后才开始采用.朱世杰的《算学启蒙》[20]在“总括”之“明乘除”一节中提出“长平相乘曰积,自相乘之曰幂”.利玛窦和徐光启在《几何原本》[19]中,也使用了“幂”字,并对“幂”的含义进行了修订.他们注释说:自乘之数曰“幂”,这就相当于定义“幂”为an了.教师通过运用数学史,挖掘概念的起源和发展,让学生感悟数学史的同时,协助学生理解“幂”、“乘方”和“指数”的概念.

1.3    “认识一元一次方程”相关概念的教学

在“5.1认识一元一次方程”的教学中,“一元一次方程”这一重要的概念首次在初中的课堂登场亮相,学生对于“一元一次方程”这一数学概念往往感到陌生、抽象和难以理解.这时,教师可以通过数学史和数学文化素材,让“一元一次方程”的教学过程更丰富一些,从而去除数学概念的生硬抽象的面具,重归感悟数学与人文的教育面向.“方程”一词出自《九章算术》[15],其第八卷即名“方程”.“方”意为并列,“程”意为用算筹表示竖式.在古代,中国数学家用“元”这个字表示未知数,“元”起源于中国宋元时期的天元术[21].朱世杰在《四元玉鉴》[21]“天元术”一节中,用“立天元”表示“设未知数”,用术语“立天元一为”表示“设未知数x为”.830年,阿拉伯数学家花拉子米(Al-Khwarizmi)在他的名著《代数学》中称未知数的解为“物”或“根”[22].1859年,李善兰和伟烈亚力(Alexander Wylie)合译英国数学家德摩根(Augustus de Morgan)的《代数学》[23],创用“一元一次方程”的术语,并传承至今.通过“一元一次方程”历史的引入,让学生理解“一元一次方程”的历史和现状,理解教科书中“我国古代称未知数为元,只含有一个未知数的方程叫做一元方程,一元方程的解叫做根”[13]的表述.历史不仅可以让学生了解概念的起源和加深对概念的理解,同时可以激发学生的学习兴趣和学习动机.

在金庸的《射雕英雄传》[24]中也有讲述中国古代“天元术”的精彩片段:

只见那内室墙壁围成圆形,地下满铺细沙,沙上画着许多横直符号和圆圈,又写着些“太”“天元”“地元”“人元”“物元”等字.黄蓉自幼受父亲教导,颇精历数之术,见到地下符字,知道尽是些术数中的难题,那是算经中的“天元之术”,虽然甚是繁复,但只要一明其法,也无甚难处(按:即今日代数中多元多次方程式,我国古代算经中早记其法,天、地、人、物四字即西方代数中X、Y、Z、W四未知数).黄蓉从腰间抽出竹棒,倚在郭靖身上,随想随在沙上书写,片刻之间,将沙上所列的七八道算题尽数解开.

这些算题那女子(瑛姑)苦思数月,未得其解,至此不由得惊讶异常,呆了半晌,忽问:“你是人吗?”黄蓉微微一笑,道:“天元四元之术,何足道哉?算经中共有一十九元,‘人’之上是仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天,‘人’之下是地、下、低、减,落、逝、泉、暗、鬼.算到第十九元,方才有点不易罢啦!”那女子(瑛姑)沮丧失色,身子摇了几摇,突然一跤跌在细沙之中……

教师将这段与方程有关的文字素材展示给学生,再播放影视作品《射雕英雄传》中的对应片段,让学生对“一元一次方程”的概念有更进一步的理解,对方程有更深入的体会.教师在讲解“一元一次方程”概念时,借鉴“一元一次方程”的发展历史来讲解新课,使用小说素材,讲述有关方程的趣事,可以提升学生的学习兴趣,培养学生积极的态度.在课堂中为学生提供“一元一次方程”方程概念的来龙去脉,提供学生感兴趣的与数学文化有关的小说读物,数学课堂变得更加多彩,更具人文价值.数学教育的人文价值一直是数学教育的重要价值取向[25],数学教师需要积极开发数学课堂的人文教育功能[26],提高学生对数学的积极态度.


2引入数学史  避免错误重现

教育家斯宾塞(Herbert Spenser)认为:儿童的教育,无论在方式上,或在安排上,均须与历史上人类的教育相对应[27].换言之,个人知识的发生必须遵循种族知识发生的途径[27].弗赖登塔尔(H. Freudenthal)强调:尽管年轻人的学习方式改变了,但年轻人的学习仍会重蹈人类的学习过程[28].数学教师都应该学习数学史,应该在课堂中引入数学史来避免先驱的失误在学生中重现[29].在数学课堂教学中,教师引入数学家的错误和先驱的失误,会让学生对数学概念和运算过程更加清晰,可以有效地让学生避免这些错误.在课堂教学中,教师应该让学生重新经历人类认识数学的重大几步[30],这样的数学课堂会取得更好的教学效果.

2.1    利用数学史讲透数学运算法则

在“有理数的运算”的教学中,可以引入“有理数运算法则”的历史,让学生对运算的法则理解得更加透彻,避免运算的错误.《九章算术》[15]中记载了有理数的加减法运算法则:“正负术曰:同名相除,异名相益.正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益.正无入正之,负无入负之.”元代朱世杰在《算学启蒙》[20]记载了有理数的乘除法运算法则:“同名相乘为正,异名相乘为负”,“同名相除所得为正,异名相除所得为负”.教师通过引入《九章算术》和《算学启蒙》中有关有理数的表述,让学生感悟有理数的运算法则,体会中国古代的数学成就,了解有理数运算法则的起源与发展.

同时,为了加深学生对负数和负数运算的理解,避免产生类似于西方数学家的疑惑,教师应该在课堂中引入一些西方数学家的错误观念,让学生澄清错误的负数观念,避免错误的观念重现.在16—17世纪时,西方大多数数学家并不承认负数是数,或者即使承认了,也并不认为它们是方程的根.1544年,德国数学家施蒂费尔(Michael Stifel)在《整数算术》中提到:如果以2为底数的话,2的-1次方对应的是,2的-2次方对应的是.他在文中写到:这本书可能会写到一些与数字有关的荒谬事情,但我必须闭上眼睛并留下这些荒谬的事情[31].显然,他认为负数是荒谬的.1545年,意大利数学家卡丹(Girolamo Cardan)在其《大术》中虽然承认负数,并给出了简单的加减法则,但他把正数称作“真实的数”,而把负数称作“虚假的数”[18].17世纪,法国数学家帕斯卡(Blaise Pascal)认为从0减去4纯粹是胡说[32].1649年,帕斯卡设计并制作了一台可携式计算器,但这台计算器只能用于正数的加减乘除运算,不能用于负数的运算.可见,帕斯卡是不承认负数的.

数学教育学者Arcavi[33]在课堂教学中曾经引用过有关负数历史的例子,这个例子[34]是:“17世纪,法国数学家Arnaud(1612—1694)曾经写过一封信给他的同事Prestet(1648—1691),他在信中写道:如何把-1/1和1/-1在比例的法则下协调起来?一方面,如果考虑分数方程-1/1=1/-1,比例法则是正确无误的;但是另一方面,这个方程并没有看上去那么的准确,较小的数与较大的数的比怎么可以等于较大的数与较小的数比呢?”Arcavi[33]通过让学生在课堂中讨论这一例子,在教师的引导下,让学生在讨论中澄清对负数的错误观念,让学生避免数学家的类似错误.教师可以通过在课堂中介绍负数的历史,让学生加深对负数概念的理解,澄清学生的困惑,避免错误的观念重现.

2.2    从历史错误中厘清相关数学知识的正确表达方式

在“3.3整式”的教学中,为了预防学生出现用a3表示a3、用2b4表示2b4和用aa表示a2等错误的书写情况,教师在课堂中引入指数符号的发展历程,避免学生重蹈数学家的覆辙.1591年,韦达[35](François Viète)把a2a3分别记作a.quad及a.cubum(quad表示“二次方”,cubum表示“三次方”).1631年,哈里奥特[36](Thomas Harriot)改进了韦达的记法,以aa表示a2,以aaa表示a3.1634年,埃里冈[37](Pierre Herigone)改进指数符号记法,以系数在前,字母在中,指数在后的方式表示指数符号.如以a3表示a3、用2b4表示2b4,用2ba2表示2ba2.1637年,笛卡儿[38](Rene Descartes)以较小的数字放于右上角来表示指数,如5b4,便是现今通用的指数表示法.不过,当a2表示面积时,他把a2写成aa.1748年,欧拉[39](Leonhard Euler)在出版的著作《无穷小分析论》中,仍用aa表示a2.后来,数学家们沿用笛卡儿的指数符号记法,且只把aa表示成a2,一直沿用至今.

教师通过在课堂中介绍指数符号的发展历程,让学生在脑海中澄清用a3表示a3、用2b4表示2b4和用aa表示a2等历史上出现的与现代数学不相符的书写情况,知道应该用现今通用的指数表示方法,从而让学生避免数学家们的错误重现.整式符号的发展历史如表1所示.

表1   整式符号的发展历史

2.3    从历史事件中明晰抽样调查的样本特征

在“6.2普查与抽样调查”的教学中,为了预防学生在抽样调查中出现忽视样本的代表性和广泛性,片面关注大样本的错误情况,教师在课堂中引入“《文学文摘》杂志社对1936年总统选举的预测”的反面故事[40],同时引入“盖洛普(Gallup George Horace)民意测验所对1936年总统选举的预测”的正面故事[41].教师通过正反两方面的数学史故事,引导学生避免在抽样调查中重蹈《文学文摘》杂志社的错误,让学生体会抽样调查的样本应该具有代表性和广泛性的特点.

在“《文学文摘》杂志社对1936年总统选举的预测”的反面故事中,教师通过这个故事让学生意识到,虽然《文学文摘》采用了1 000万的大样本,但由于样本缺乏广泛性和代表性,《文学文摘》的预测最终失败了.教师在融入反面故事的同时,引入“盖洛普民意测验所对1936年总统选举的预测”的正面故事:盖洛普在抽样调查时,只抽样调查了1 000个样本,但是他注意到样本在性别、年龄、职业、收入、种族和文化层次等基本指标的分布同美国人口的结构保持一致.这样的样本实际上是美国总人口的一个缩影,因而具有代表性和广泛性.因此盖洛普大胆预言罗斯福将连任总统,盖洛普民意测验的预测最终获得成功.教师通过在课堂中介绍《文学文摘》和盖洛普的统计学故事,使得学生对于抽样调查的样本选取更加的重视和认真,对于“抽样调查要注意样本的广泛性和代表性”这一知识点理解的更加深入.同时,教师可以提醒学生避免重犯《文学文摘》在抽样调查中的错误,澄清学生脑海中“大样本一定能保证调查结论准确”的错误观念.


3数学史故事导入法为学生打开另一扇数学之窗

F·克莱因[42](F. Klein)指出:“教学应遵循人类从知识的原始状态到更高级形式的道路.推广这种自然的、真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识.”数学史知识可以为学生的数学学习提供有力的支撑,有助于学生感受数学、感受数学文化[43].数学家的轶闻趣事,可以激发学生学习数学的兴趣[43].数学教育需要更多的数学文化素材和数学故事来改善数学课堂的现状.因此,整理出数个可用于初一数学课堂的数学历史故事,为初中数学教师提供数学史融入课堂教学的素材,希望为课堂带来一些新鲜的气息,从而达到导入新课内容,提高学生的数学学习兴趣的目的.

3.1    “科学记数法”的教学导入

在“2.10科学记数法”的新课教学中,如果一开始直接讲授科学记数法的概念,会显得有点生硬和突兀,这时不妨用一则数学史小故事作为新课的开头,为数学课堂增添人文的色彩.这则故事的名字叫“海边奇思”[44].教师通过“海边奇思”这则故事来吸引学生的注意,让学生感到数学课的趣味.故事[45]如下:

公元前3世纪后半叶的某一天,阿基米德的朋友、叙拉古王子盖罗在海边散步.阿基米德三句话不离本行,谈起了数学问题.

“我们脚下的这片沙滩共有几粒沙?”阿基米德问朋友.

“想必有无穷多粒吧.”盖罗回答.

“那整个西西里岛上的沙粒数呢?”阿基米德接着问.

“当然也是无穷.”盖罗不假思索.

“可是,亲爱的朋友,不仅是西西里岛,世界上任何一个地方的沙粒数都是有限的.我可以证明,我能找到一个大数,使得装满整个地球、甚至整个宇宙的沙粒数不超过这个数!”阿基米德自信地说.阿基米德通过他的几何证明,证明出整个宇宙的沙粒数目不超过1后面63个0.

通过让学生们帮助阿基米德表示出这个大数,从而引出科学计数法这一新课内容.虽然这个“海边奇思”的故事是后人根据阿基米德的《数沙者》编写的故事,真实性有待考究,但是从数学文化的角度来说,如果可以让学生感受到数学之美和数学的魅力,这样的数学文化素材也是非常具有教育意义和价值的.因此教师在课堂教学中,可以融入一些数学家的轶事、趣闻和故事,发展学生的数学意识,培养学生对数学的积极态度.

3.2    “字母表示数”的教学导入

在“3.1字母表示数”的新课讲授中,教师可以运用数学故事来引起学生的有意注意,提高学生兴趣.教师通过数学故事“到底有多少家伙”来回答“为什么需要用字母表示数”的问题,激发学生学习动机.在新课的教学中,教师引用英国幽默作家杰罗姆在《懒人闲思录》[45]中的一段故事:

十二世纪的青年堕入情网,你可别指望他会后退三步,凝视情人的眼睛,然后告诉她:你太美了,美得简直不像活人.他会说他要到外边去看看,倘若正好碰上那么一位仁兄,并打破他的脑袋——我指的是另外那个家伙的脑袋,这就说明他——前一个人——的情人是个漂亮姑娘.但要是另一个家伙打破他的头——不是他自己的,这你知道,而是另一个家伙的——另一个家伙是对第二个家伙而言,这就是说,因为事实上另一个家伙仅仅对于他来说才是另一个家伙,而不是第一个家伙——好了,如果他的头被打破,那么他的女孩——不是另一个家伙的,而这个家伙……

如果一开始让学生去看这段话,学生会感到非常的迷惑,因为学生搞不清楚到底哪个家伙是哪个家伙.如果把这段话用整式表示的话:

你瞧,如果A打破了B的头,那么A的情人就是一个漂亮女孩;反之,如果B打破了A的头,则A的情人不是漂亮女孩,B的情人才是.[44]

虽然这段话不是数学史,但是作为一个情景引入的数学文化素材,同样可以让学生感受到数学的魅力和数学文化的魅力.为了让数学课堂充满人文的气息,教师可以运用一些与数学文化有关的文学素材,让数学看上去不是那么的枯燥、抽象与生硬[33],改善学生的数学观[33],展示数学教育的人文价值与人文关怀.通过杰罗姆在《懒人闲思录》中与“字母表示数”有关的文字片段的引入,学生一定对学习“字母表示数”非常感兴趣,而且觉得数学非常有用和有价值.

3.3    “综合与实践——幻方”的教学导入

在“综合与实践——幻方”课堂中,教师可以融入与“幻方”有关的数学文化和文学素材,来培养学生积极的态度.幻方是科学的结晶与吉祥的象征,发源于中国古代的洛书——九宫图.《易经系辞》[46]记载了:“河出图,洛出书,圣人则之.”《论语》[47]记载了:“子曰:‘凤鸟不至,河不出图,吾已矣夫!’”《庄子·天运》[48]提出:“天有六极五常,帝王顺之则治,逆之则凶.九洛之事,治成德备,监照下土,天下戴之,此谓上皇.”《大戴礼·明堂篇》[49]中有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载.教师可以通过融入幻方的历史引入新课,让学生了解幻方的历史起源和发展.同时,教师还可运用金庸《射雕英雄传》[24]中的一段“瑛姑与黄蓉的对话”作为教学素材,增添教学中的数学文化韵味,体现数学与人文之间的联系,展示数学教育的人文价值.“瑛姑与黄蓉的对话”文摘如下:

那女子(瑛姑)沮丧失色,身子摇了几摇,突然一跤跌在细沙之中,双手捧头,苦苦思索,过了一会,忽然抬起头来,脸有喜色,道:“你(黄蓉)的算法自然精我百倍,可是我问你:将一至九这九个数字排成三列,不论纵横斜角,每三字相加都是十五,如何排法?”

黄蓉心想:“我爹爹经营桃花岛,五行生克之变,何等精奥?这九宫之法是桃花岛阵图的根基,岂有不知之理?”当下低声诵道:“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”边说边画,在沙上画了一个九宫之图.

那女子面如死灰,叹道:“只道这是我独创的秘法,原来早有歌诀传世.”

黄蓉笑道:“不但九宫,即使四四图,五五图,以至百子图,亦不足为奇.就说四四图罢,以十六字依次作四行排列,先以四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一、七换十.这般横直上下斜角相加,皆是三十四.”那女子依法而画,果然丝毫不错.

黄蓉道:“那九宫每宫又可化为一个八卦,八九七十二数,以从一至七十二之数,环绕九宫成圈,每圈八字,交界之处又有四圈,一共一十三圈,每圈数字相加,均为二百九十二.这洛书之图变化神妙如此,谅你也不知晓.”

黄蓉对幻方的深入研究,使得自以为是“神算子”的瑛姑自叹不如,连声感叹“罢了,罢了!”当学生读到这一小说片段,会对幻方产生浓厚兴趣,产生积极学习的心向,从而教师可以顺利地开展新课.除了文字资料的呈现以外,教师还可以提供视频资料,将电视剧中《射雕英雄传》关于“幻方”的片段在课堂中播放出来,让学生对“幻方”留下深刻印象,产生浓厚兴趣,同时引出幻方的新课内容.数学文化包含动态的数学过程,其中存在着丰富的数学精神、理念和价值观[50].如果数学教师只注重数学知识的学习,而忽视数学文化的熏陶,并不是完整的数学教育,学生在这样的学习环境里难以获得充分的培育和发展[50]


4结语

数学课堂有效渗透数学史能够使学生了解数学的来龙去脉,激发并保持学生的数学学习兴趣,从而提高数学学习的长久效益.但必须注意的是,如果课堂教学只是把数学史从古代到现代匆匆走一回,罗列期间在科学上发生的主要事件和日期,那么它的教育价值与只要求学生熟记历代皇朝的年份没有任何区别.在讲课中,完全没加入数学史比胡乱加入数学史的课堂效果会更好.弗赖登塔尔[51]强调:“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹,而应是遵循经过改良、同时有更好引导作用的历史过程.”教师在教学中不应简单地去重复当年的真实历史,而应致力于数学历史的重构,发挥重要的指导作用,更加注重学生的主动发现,将数学课真正“教活、教懂、教深”[52].为了实现弗赖登塔尔所倡导的“数学再创造”,将数学的历史和文化融入数学课堂必须谨慎执行,教师在实践的过程中应该保持专业性和高效性.

研究将所提及的教学案例的相关知识点、教学章节、数学史素材、教学方式、教学方法、数学史融入的方法和教学环节进行了整理,希望对一线数学教师实施数学史融入数学课堂的教学方法提供有益的帮助(如表2所示).

表2   数学史融入课堂的运用方式

表2   数学史融入课堂的运用方式(续)

数学课堂的教学改革需要教育取向的数学史与数学文化研究,开发与中学教学内容相契合的数学史融入数学课堂案例,培养学生对数学的积极态度[53].在数学课堂上融入数学史和数学文化,不仅仅为了调节课堂气氛,发挥调味品的作用,更重要的是让学生理解数学的历史和现状,培养学生对数学的积极态度.教师通过数学史融入课堂,转变学生对于数学刻板、枯燥和抽象的看法,改善学生的数学观.这不是一项容易的事情,新时代的数学老师需要学习数学史,了解数学知识的来龙去脉[54],从而更好地肩负起这项责任.研究提供了数学史融入数学课堂的运用方法,以及数学史融入数学课堂的案例,旨在为初中数学教师能更高效、更专业地开展数学史融入数学课堂的实践提供可资借鉴的数据和实例.


参考文献        

[1]  WILKINS M. Preparing for the 21st century: the status of quantitative literacy in the United States [J]. School Science & Mathematics, 2010, 100 (8): 405-418.
[2]  JONES P S. The history of mathematics as a teaching tool [J]. Mathematics Teacher, 1957, 50 (1): 59-64.
[3]  MCBRIDE C, ROLLINS H. The effects of history of mathematics on attitudes toward mathematics of college algebra students [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1977, 8 (1): 57-61.
[4]  FAUVEL J. Using history in mathematics education [J]. For the Learning of Mathematics, 1991, 11 (2): 3-6.
[5]  LIU P H. Do teachers need to incorporate the history of mathematics in their teaching [J]. Mathematics Teacher, 2003, 96 (6): 416-421.
[6]  NG W L. Effects of an ancient Chinese mathematics enrichment program on secondary school students’ achievement in mathematics [J]. International Journal of Science & Mathematics Education, 2010, 8 (1): 25-50.
[7]  SCHIEFELE U, KRAPP A, WINTELER A. Interest as a predictor of academic achievement: a meta-analysis of research [M] // RENNINGER A, HIDI S, KRAPP A. The role of interest in learning and development. Hillsdale: Lawrence Erlbaum, 1992: 183-212.
[8]  KATZ V J. Using history in teaching mathematics [J]. For the Learning of Mathematics, 1986, 6 (3): 13-19.
[9]  汪晓勤,欧阳跃.HPM的历史渊源[J].数学教育学报,2003,12(3):24-27.
[10]  JANKVIS T. A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education [J]. Educational Studies in Mathematics, 2009, 71 (3): 235-261.
[11] 汪晓勤.HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊,2012(2):1-5.
[12]  TZANAKIS C, ARCAVI A, SA C, et al. Integrating history of mathematics in the classroom: an analytic survey [M] // FAUVEL J, MAANEN V J. History in mathematics education. Netherlands: Springer, 2002: 201-240.
[13] 马复.义务教育教科书:七年级上册数学[M].北京:北京师范大学出版社,2017:1-200.
[14] 萧文强.心中有数:萧文强谈数学的传承[M].大连:大连理工大学出版社,2010:50-54.
[15] 刘徽.九章算术注[M].南京:江苏科学技术出版社,2016:20-23.
[16] 林夏水.毕达哥拉斯学派的数本说[J].自然辩证法研究,1989(6):48-58.
[17]  ALEXANDERSON G. About the cover: Christopher Clavius, astronomer and mathematician [J]. Bulletin of the American Mathematical Society, 2009, 46 (4): 669-670.
[18]  SMITH D E. History of mathematics [M]. New York: Dover Publications, 1953: 15-17.
[19] 欧几里得.几何原本[M].利玛窦译,徐光启述.上海:上海古籍出版社,2011:60-62.
[20] 朱世杰.新编算学启蒙[M].罗士琳附释.上海:上海古籍出版社,1996:23-24.
[21] 吴文俊.中国数学史大系:第6卷西夏金元明[M].北京:北京师范大学出版社,1999:57-59.
[22]  ROSEN F. The algebra of Mohammed Ben Musa [M]. Whitefish: Kessinger Publishing, 2010: 91-92.
[23] 棣么甘.代数学(卷三)[M].李善兰,伟烈亚力,译.上海:墨海书馆,1859:74-76.
[24] 金庸.射雕英雄传[M].广州:广州出版社,2008:145-146.
[25] 曾峥.略论数学的人文价值[J].数学通报,2002,41(2):12-15.
[26] 曾峥,邢惠清.开发数学课程的文化教育功能[J].学科教育,2000(12):20-23.
[27] 斯宾塞.斯宾塞教育论著选[M].北京:人民教育出版社,2005:206.
[28] 弗赖登塔尔.数学教育再探:在中国的讲学[M].上海:上海教育出版社,1999:137.
[29]  FREUDENTHAL H. Should a mathematics teacher know something about the history of mathematics [J]. For the Learning of Mathematics, 1981, 2 (1): 30-33.
[30]  PÓLYA G. Mathematical discovery. On understanding, learning and teaching problem solving (Vol. II) [M]. New Jersey: John Wiley & Sons, 1965: 51.
[31]  FLORIAN C. A history of elementary mathematics; with hints on methods of teaching [M]. New York: The Macmillan Company, 1924: 47.
[32] 佟巍,汪晓勤.负数的历史与“负负得正”的引入[J].中学数学教学参考:教师版,2005(1):126-128.
[33]  ARCAVI A. The experience of history in mathematics education [J]. For the Learning of Mathematics, 1991, 11 (2):7-16.
[34]  PAUL S. Arnauld, malebranche, prestet et la theorie des nombres negatifs (d'après une correspondance retrouvée) [J]. Thalès, 1935, 2 (1): 82-90.
[35]  FRANÇOIS V. The analytic art [M]. New York: Dover Publications, 2006: 12-13.
[36]  HARIOT T. Artis analyticae praxis ad aequationes algebraicas resolvendas [M]. Chester: Readex Microprint, 1970: 36-37.
[37]  ROSA M E. Symbolic language in early modern mathematics: the algebra of Pierre Hérigone (1580—1643) [J]. Historia Mathematica, 2008, 35 (4): 285-301.
[38]  DESCARTES R. The geometry of Rene Descartes [M]. Whitefish: Kessinger Publishing, LLC. 2008: 39-40.
[39]  EULER L. Introductio in analysin infinitoruin [M].Whitefish: Kessinger Publishing, LLC. 2010: 52-53.
[40]  LOHR L, MICHAEL J, MIDDLETON A. Roosevelt predicted to win: revisiting the 1936 literary digest poll [J]. Statistics Politics & Policy, 2017 (8): 65-84.
[41]  WOOD P. George H. Gallup [J].The journal of marketing. 1962, 26 (4): 78-80.
[42] 菲利克斯•克莱因.高观点下的初等数学[M].上海:复旦大学出版社,2008:222.
[43] 朱哲,宋乃庆.数学史融入数学课程[J].数学教育学报,2008,17(4):11-14.
[44] 田方琳,汪晓勤.初中数学课堂上的数学故事[J].中学数学月刊.2013(9):50-53.
[45] 杰罗姆.懒人闲思录[M].北京:外语教学与研究出版社,2009:117.
[46] 王易中.大智之门:孔子《易•系辞》解读[M].太原:山西科学技术出版社,2011:149.
[47] 杨伯峻.论语译注:简体字本[M].北京:中华书局,2006:69.
[48] 庄周.庄子[M].太原:山西古籍出版社,2003:42.
[49] 戴德辑.大戴礼记[M].济南:山东友谊出版社,1991:74.
[50] 谢明初.数学教育的人文追求[J].数学教育学报.2015,24(1):6-8.
[51] FREUDENTHAL H. Didactical phenomenology of mathematical structures [M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002: 23.
[52] 郑玮,郑毓信.HPM与数学教学中的“再创造”[J].数学教育学报.2013,22(3):5-7.
[53] 赵东霞,汪晓勤.关于数学文化教育价值与运用现状的网上调查[J].中学数学月刊,2013(3):41-44.
[54]  KATZ V J. A history of mathematics [M]. New York: Higher Education Press, 2008: 2.


   A Case Study of Integrating Mathematical History into Junior High School Classrooms
  ZENG Zheng1, YANG Yu-hui1, LI Xue-liang2
(1. Foshan University, Guangdong Foshan 528000, China; 2. Foshan Nanhai District Nanhai Experimental Middle School, Guangdong Foshan 528000, China)


Abstract:  The current junior high school mathematics classroom placed too much emphasis on the students’ ability to master the knowledge of mathematics content and develop students’ mathematics reasoning ability. However, they neglected to allow students to understand the current situation and historical development of mathematics and cultivate students’ positive attitude towards mathematics. The integration of mathematics history into junior high school mathematics classroom teaching allowed students to understand the current state and history of mathematics and to develop students’ positive attitude towards mathematics. This article provided methods for Integrating the history of mathematics into the mathematics classroom for junior high school students, and conducted case studies on the integration of mathematics history into the junior high school class to provide teaching references for junior middle school mathematics teachers. The case study of the integration of mathematics history into the junior high school classroom was mainly divided into three parts: 1. deepening the understanding of mathematical concepts; 2. avoiding mathematicians from making mistakes; 3. introducing new classes to improve interest in learning.
Key words:  history of mathematics; junior high school mathematics teaching; teaching method; case study



数学教育学报JME


长按二维码关注

    发送中

    本站仅按申请收录文章,版权归原作者所有
    如若侵权,请联系本站删除
    觉得不错,分享给更多人看到