大陆与台湾小学数学教材中分数除法的编排比较

张平 等 数学教育学报JME 2019-01-25

引用格式:张平,彭亮,徐文彬.大陆与台湾小学数学教材中分数除法的编排比较[J].数学教育学报,2018,27(6):38–43.

作者信息                

张  平1,彭  亮2,徐文彬3                

(1.张家港金港中心小学,江苏 苏州  215633;2.南京晓庄学院 教师教育学院,江苏 南京  211171;3.南京师范大学 课程与教学研究,江苏 南京  210097)

张平(1969—),男,江苏苏州人,中学高级教师,主要从事小学数学教学研究.徐文彬为本文通讯作者.

基金项目                

全国教育科学规划“十三五”国家一般项目——中小学STEM教育基本理论与本土实践问题研究(BHA180126)


摘要        
教材的编排方式一定程度上影响教师的教学和学生的学习,基于此,以分数除法这一计算教学中的难点为切入点,分别从横向和纵向两个维度对大陆(苏教版)和台湾(康轩版)教材中分数除法的编排进行比较.通过比较发现,在整体结构上,康轩版教材的例题数量多于苏教版;苏教版练习的数量是康轩版的两倍多;康轩版涉及的知识点更多,且内容难度大,但例题间难度的坡度比苏教版小.在具体内容的组织上,苏教版通过个案联系、引导猜想等过程,即通过不完全归纳得到计算法则,康轩版则从多例呈现、算法引导、发现规律等过程得到计算法则,其例题结构完整,算法前后统一.由此,小学数学教材的编写和教学实践需合理地把握教材中例题间的难度,有意识地关注教材内容所涉及的数学知识的本质和境脉,凸显数学概念的深层次理解.


关键词:分数除法;教材比较;苏教版;康轩版
中图分类号:G624  文献标识码:A  文章编号:1004–9894(2018)06–0038–06


近20年来,研究者们对分数学习的研究主要关注分数基本概念的理解.在目前的研究中,有着眼于分数的定义的,有从教学与数学两个层面来探讨分数本质的,还有从对分数本质的理解看数学教师的专业素养的.不论从哪个角度展开研究,最终都要回到对分数意义的理解这一基本问题上[1].因而,分数除法的教学可能也与教师对其背后所隐含的意义及其数学思想方法的理解相关.譬如,国外研究者鲍尔(D. L. Ball)通过研究发现,职前教师仅知道分数除法的计算规则,却对其背后的数学知识不甚理解[2].不仅如此,许多在职教师在分数除法教学之后对“为什么除以一个数等于乘它的倒数”同样无法给出合理的解释.然而,通过审视台湾教材关于分数除法的编排时发现,分数除法这一内容在教材中编排的形式可能也间接影响教师对分数除法的深入理解.

台湾近10年来对小学数学教材内容的研究非常深入和系统,不仅能对小学数学的教学内容做出理论性的解释,赋予其科学的意义,且在很多内容的细微之处及学生容易产生困惑的地方做出了精致的分析和实证性的研究[3],给一线教师的教学实践提供了理论和技术上的帮助和指导.基于此,有必要对大陆和台湾小学数学教材中分数除法的编排进行比较,以为小学数学教材的编写及教学实践提供一些启示.


1研究设计

考虑到比较对象的典型性和代表性,大陆教材选用的是2013年教育部审定的凤凰教育出版社的小学数学教材(简称“苏教版”),台湾教材选用的是康轩文教事业出版的小学数学教材(简称“康轩版”).选用这两个版本的原因在于二者的使用情况.其中,康轩版教材在台湾具有一定的影响力,被很多小学选定为教科书;苏教版也同样如此,在大陆有较为广泛的使用范围和近二百万的学生使用量.基于此,研究的问题和比较框架如下.

1.1    研究问题

通过大陆和台湾小学数学教材中分数除法编排的比较来审视二者背后理念的差异及其可能对教学的影响.

(1)大陆与台湾教材中分数除法编排上的异同;
(2)这些编排上的差异之处所隐含的理念差异;
(3)这一理念差异对教学实践可能产生的影响.

1.2    比较框架

就教材比较而言,常用的方法是“内容比较、分析法(content analysis)”[4].此种方法能够较为深入地探析不同教材之间的差异,其一般包含“量”和“质”两个方面的比较和分析.其中,“量”的层面侧重于从数量、时间以及顺序上比较和分析不同教材之间的差异,“质”的层面侧重于以定性的方式比较和分析不同教材之间的异同.一般而言,这两个层面都需在教材比较中有所体现,任一方面的缺失某种程度上都有碍于研究的深入.譬如,哈拉兰博斯(Y. Charalambous)[5]等人认为应将对教材整体考察的分析方法和对具体内容考察的分析方法予以综合.一方面,从横向上比较不同教材的整体结构、总体特点和内容组织.如例题的数量、安排的顺序和习题的数量等,这即是从“量”上比较不同教材的差异;另一方面,从纵向上考察教材如何建构数学概念的知识结构,需对单元知识的整体结构和内容进行具体的解析,这即是从“质”上考察不同教材的异同.此外,国内研究者张茹[6]在对国内外教材研究的文献做了详尽地比较分析后,提出了“科学性”“教育性”“教学性”“适切性”和“结构性”这5个融合“量”和“质”的教材分析和评价指标,其中“教学性”指教材内容的呈现方式、语言风格等;“适切性”涉及教材内容的难易度、容量、贴近学生等方面;“结构性”指教材内容的完整性、知识本质、逻辑顺序及数学思想和文化的体现等;“科学性”和“教育性”指教材呈现的内容是否科学合理,是否具有教育意义.

在统整哈拉兰博斯和张茹,以及范良火、吴立建[7],曹一鸣、吴立宝[8],王建波[9]等人研究成果的基础上,从横向和纵向两个维度建立比较框架.其中,横向比较主要关涉教材中“量”的层面,纵向比较主要关涉教材中“质”的层面.其具体比较指标如表1所示.

表1   小学数学教材比较框架


2研究结果

依据上述比较框架,对大陆苏教版和台湾康轩版教材中分数除法的内容进行了比较与分析.首先,合作者分别独立通读两个版本的教材,理解其各自的编排意图与思想,以及所涵盖的分数除法相关数学知识及其整体结构与编排顺序,并经沟通交流、研讨分析,达成共识.其次,合作者分别依据分析框架开展对比阅读,采集、编码数据,整理分析并适当表述,经沟通交流、研讨分析,达成共识(在编码过程中,3位作者分别对文本进行统计,并在编码后比对3者之间的一致性程度,最终3者之间的一致性程度达80%,可以确保研究结果的信度和效度).最后,整合上述“阅读结果”,得出大陆苏教版和台湾康轩版教材中“分数除法编排”在横向和纵向上的异同.

2.1    横向比较结果

横向比较主要包括整体结构、内容组织以及编排顺序3个方面.通过分析,横向比较的结果如下.

2.1.1   整体结构的比较

整体结构的比较结果如表2所示.

表2   整体结构比较结果

从表2可以看出,两版本教材的分数除法内容在整体结构上有一些共同之处.一是两种版本都将分数除法这一内容编排在六年级上学期.二是例题的呈现都是从简单到复杂,从具体到抽象,如苏教版先从分数除以整数,到整数除以分数,再到分数除以分数,这之后,引导学生归纳概括分数除法的计算方法,即甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数;康轩版则从最简分数开始,由同分母分数除法,到整数除以分数,再到异分母分数除法,并在异分母分数除法之后归纳分数除法的计算方法,最后引申至有余数的分数除法和被除数、除数和商的关系的学习.三是每个例题后面都有相应的练习,如苏教版有试一试和练一练,康轩版有做做看、动动脑等.四是单元最后都安排了分数除法的综合练习,如苏教版安排了分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数、比大小以及分数除法的应用题,帮助学生巩固例题中的知识点.同样,康轩版安排了3类练习,分别是将化简最简分数融入分数除法的计算中,将被除数、除数和商的关系融入大小比较中,以及通过应用题帮助学生运用分数除法,进而达到巩固所学知识点的目的.因此,从整体结构上来看,两种版本的教材都遵循由简单到复杂的编排方式,且以练习来巩固分数除法的学习.

2.1.2   内容组织和顺序的比较

因内容组织与编排顺序紧密相关,因此将二者予以结合来分析两种教材的异同.其比较结果如表3所示.

表3   内容组织和顺序比较结果

注:*商是带分数时,非整数部分不是“余数”,须再乘除数,得到的结果才是“余数”.

由表3可知,分数除法这一内容在内容组织和顺序上存在以下几点不同之处.

一是,两种版本教材的内容起点不同.康轩版教材把最简分数的相关内容作为学习分数除法的起点,苏教版教材则把分数除以整数(分子能整除)作为起点,而最简分数的相关内容安排在五年级学习.

二是,两种版本教材中例题的数量相差很多.康轩版共安排了6个板块的活动,共22个例题,如果不包括活动一“最简分数”的5个例题,也有17个例题,而苏教版教材共安排了4个例题,其中个别例题的“试一试”是例题的拓展,难度比例题大,这是苏教版教材的一个编排特点.

三是,内容编排顺序存在差异.具体而言,苏教版编排的4个例题是“分数除以整数”“整数除以几分之一”“整数除以几分之几”及“分数除以分数”,其具体展开方式如下.

例题1:÷2,引导学生思考把4个平均分成2份,又从语义的角度分析平均分成2份,就是每人喝,也即×,从算理看,分数除以整数与整数除法最接近,但值得商榷的是教材÷2=这样的表达方法不容易让学生理解,直接写4个平均分成2份就是2个,即,比较直观.例题2:4÷引导学生从实物图和语义分析,1个橙子可以分给2个人,4个可以分给8个人,因此4÷=4×2.例题3和例题4都是通过直观图让学生得到分数除法的结果以后再引导学生算一算乘除数的倒数,看结果是否相等,逐步引导学生发现除以一个数等于乘它的倒数这个规律.

从苏教版的编排顺序来看,其按照分数除法的类型,由易到难,由直观到抽象.其采用的编排方法主要包括个案分析、聚焦联系和抽象概括.其中,个案分析是指某种类型呈现一个例题,通过实物演示和直观分析,揭示算理;聚焦联系是指每一个例题通过除法的意义(等分除和包含除)算出结果,再引导学生将分数除法转换成乘法,并建立两种运算的联系;抽象概括是指教材安排4个例题分两个层次概括出“除以一个数等于乘它的倒数”规律,这其中,例1和例2是通过直观演示和语义分析来自然建立乘除关系的联系;例3和例4则是引导学生建立联系,帮助学生经历由直观到抽象、由特殊到一般的发现过程.

与苏教版相比,康轩版的编排顺序主要有3个方面的不同.其一,康轩版安排的5个活动是“同分母分数相除”“整数除以分数”“异分母分数相除”“有余数的除法”及“关系”,分数除法类型与苏教版不同,其每一个活动内的例题基本按照除数是真分数、假分数、带分数(大陆小学数学教材一般不涉及带分数)除法呈现.其二,不同类型的分数除法的算法是统一的,即都化成相同单位的分数进行计算,在此基础上引导学生发现除以一个数等于乘这个数的倒数的规律.其三,安排了“有余数的分数除法”.两种版本编排顺序上的差异反映出编写者对知识逻辑结构理解的差异.

此外,从习题数量来看,苏教版安排了大约85道习题,其中以计算为主的习题73道,占86%左右,带有操作性要求和解决问题12道,占14%左右.康轩版安排了大约30道题(其中不包括最简分数的练习题),其中以计算为主的22道,占73%左右,带有操作性要求和解决问题8道,占27%.

总之,从横向的维度来分析,两种版本的编排方式有显著差异,如苏教版安排的例题明显要少于康轩版,但练习要多于康轩版,而解决问题和操作性要求的题目康轩版所占比例较大.仅就单元内容而言,康轩版安排的明显比苏教版多,而且对学生的学习要求也比较高.

2.2    纵向比较结果

纵向比较主要涉及教学性、适合性以及结构性等方面.

2.2.1   教学性的比较

教学性的比较主要考察例题呈现方式和引导学生思考两个方面.例题多样化的呈现方式(文字、图表、符号),会对学生数学问题解决产生深刻影响[10],因此,例题表征形式的多元化非常重要.引导学生思考主要关涉教材如何启发、点拨、导引学生去发现问题、分析问题并解决问题.其比较结果如表4所示.

表4   教学性比较结果

注:*指线段图、圆、矩形图等.

从表4中可以发现,两种版本在例题的表征方式上都比较注重多元化.苏教版的例题不仅有实物图,还有几何模型图.康轩版例题之间的衔接坡度小,表征方式主要是文字和几何模型图,纯文字的例题也占了30%多.在引导学生思考方面,两个版本教材都非常注重导引语的设计,尤其是起始内容的例题,既有方法的启发和提示,还有思考过程的呈现.康轩版除此以外在每个重要的内容和活动的下面设有“亲师沟通站”及配套习题提示,“亲师沟通站”主要是对学习内容的具体解释和说明,既是对教师教学重点提示,也是对学生学习时难点的启发.

2.2.2   适合性的比较

适合性关注的是教材内容的选择、组织和表达与学生学习准备之间的适合程度,其中,学习准备是指学生原有的知识水平或心理发展水平对新的学习的适应性[11].因此,适合性主要关涉教材与学生认知水平之间的符合程度.仅就教材内容而言,以下主要从例题的难易程度和习题的多样性两个方面来比较两种版本教材的适合性.

例题的难易程度主要从例题内容的广度和深度以及例题间的坡度来予以分析.就例题内容的广度而言,苏教版设计了分数除以整数、整数除以分数及同分母分数相除,而康轩版则设计了同分母分数相除、整数除以分数、异分母分数相除、有余数的除法及除数变化引起商变化的规律等;就例题的深度而言,康轩版例题中的计算过程涉及假分数及带分数,苏教版则没有.由此可见,无论是从例题内容的广度还是例题内容的深度,康轩版的例题难度高于苏教版.从例题设计的坡度来看,康轩版中同类型的例题比较多,譬如,活动2中同分母分数的除法,例1设计了÷的问题情境,例2是÷的问题情境,分子都能够整除,例题间的坡度比较小.相较而言,苏教版例题间的跨度则比较大,譬如,在分数除以整数中,例题1设计了÷2的问题情境,分子和整数能够整除,而分子与整数不能整除的问题÷3则放置在“试一试”中,由学生自己探索.又如,苏教版例4中设计了÷的同分母相除的问题情境,但却直接将异分母分数相除的÷放置在“练一练”中.虽然此种安排可能给学生的自主探索留了比较大的空间,但其难度是高于康轩版的.

习题的多样性主要从习题梯度和类型层面来予以探析.就习题的梯度而言,两种版本的习题都比较注重层次,且以基础性的练习为主,并兼顾综合性的练习.就习题的类型而言,苏教版习题的类型主要有操作(画一画、分一分、涂一涂等)、计算及解决问题以及3组比较性的练习,而康轩版则主要设计了计算和解决问题,类型没有苏教版丰富.

2.2.3   结构性的比较

教材的结构性是指教材内容展开要有层次,要符合学科知识的内在逻辑,知识点之间要密切联系.譬如,布鲁纳曾言,教学不是教知识,而是教知识的结构[12],美国数学委员会在其《呼唤变革:关于数学教师的数学修养的建议书》中特别提议未来所有的数学老师都要了解数学的来龙去脉的知识,并获得对数学中许多重要概念的更深入的理解[13].教材的结构体系不仅影响学生学到了什么知识,还对学生是否能够构建具有数学文化内涵的知识结构产生影响,这样的结构靠学习碎片化的知识是不可能完成的,必须建立在学习者对相关知识及其境脉的深刻理解的基础上,因此,编写教材时必须对知识的结构体系慎重把握[14].一般而言,知识的结构主要体现在教材内容的逻辑性和全面性等方面,基于此,以下将从这两个方面来比较大陆与台湾教材的不同.

(1)逻辑性的比较.

逻辑性是指知识间的内在结构.数学知识都有其启蒙脉络,并且会不断推广[3].这样就构成一定的知识逻辑体系.Van De Walle在谈到分数计算策略时指出,要以整数的计算连结分数计算的意义[15].分数除法可以看作是整数除法的推广,从苏教版把分数除以整数作为分数除法的起点,显然是连结了整数除法的意义,但总体上看其分数除法计算法则的得出过程是不充分的.其一,例题的类型不全面,教材例举分数除法的几种类型看似全面,但最重要的异分母分数相除在例题中没有呈现.其二,例3和例4只注重结果没有呈现过程,没有说明除以一个分数为什么等于乘以它的倒数,只是让学生通过算式验证了一下,就得出结论.其三,后面3个例题都缺乏必要的表征方式的转换,如例2直接通过实物图就得到算式4÷=8,缺乏算理性的说明(4可以分为8个,即),这样就无法使4个例题构成一个结构体系,由此可能使得学生的学习仅仅停留于分数除法计算法则的运用上,进而可能使学生数学思维水平的提升有所局限,且可能规限部分教师对分数除法算理的深入理解.

康轩版的分数除法都通过单位量的转换来计算.如÷通过单位量的转换得到8个除以15个,即8÷15=.其用图形来表征分数除法(如图1),使得学生很容易理解单位量转换的过程.

图1   用几何模型表征分数除法

其转换成文字表征是:是8个是15个÷=÷=.虽然通过单位量转换不能直接呈现除以一个数等于乘它倒数的计算法则,但通过算式的变化,学生可以发现其中蕴含的规律:

如果将具体的数用字母表示,通过这样的过程能得到具有一般性的结果,即:

这样编排不仅能够把分数除法计算法则与整数除法计算法则统一起来(如图2),还可以把四则运算的计算方法统一起来(如图3).

图2   分数除法与整数除法类比

图3   四则运算计算方法

由此,四则运算的计算方法有机地连结起来,从而构成了一个完整的知识结构.如此,可能会使教师对四则运算的计算原理(数学测量的可公度性原理)获得深层次的理解,从而为有品质的数学课堂的改进和提升提供方向.

(2)全面性的比较.

从内容的全面性来看,苏教版相对简单,一是例题所涉及的数基本上是整数和真分数,很少有假分数,更没有带分数,而康轩版的例题中除了整数与真分数外,还有假分数和带分数除法.二是苏教版主要包含了分数除以整数、整数除以分数及分数除以分数3个版块的内容,从而概括出除法计算的法则,而康轩版除了上文提到的最简分数外,还包括同分母分数除法、整数除以分数、异分母分数除法、有余数的分数除法及除数的变化引起商的变化等内容.三是康轩版在单元前面安排了学习导语,内容包括分数除法与分数乘法的联系,《九章算术》中的分数除法以及介绍了中国古代数学家刘徽发现的分数除法计算方法等,有机地渗透了分数除法的相关史料及数学思想.此外,康轩版在单元后面安排了单元重点知识的整理,苏教版教材中则没有安排这些内容.


3结论与讨论

通过上述的比较和分析,大陆和台湾教材无论是在整体结构上,抑或内容组织和编排上都存在一些差异,且这些差异也反映出二者理念的异同,与此同时,这些编排和理念的差异或将对教学实践有所影响.

3.1    研究结论

3.1.1   教材的异同

在整体结构上,两种版本的教材最明显的不同主要有3方面:一是例题的数量及顺序的安排,康轩版教材的例题数量远远超过苏教版;二是苏教版练习的数量比康轩版的两倍还多;三是康轩版与苏教版相比,涉及的知识点要多,内容难度要大,但例题间的坡度要比苏教版小.在具体内容的组织上,两种版本都按分数除法的不同类型由易到难、螺旋上升的原则进行,但知识的逻辑结构有很大区别.苏教版通过个案联系、引导猜想等过程,即通过用不完全归纳得到计算法则,康轩版则通过多例呈现、算法引导、发现规律等过程得到计算法则,其例题结构完整,算法前后统一,虽然都用不完全归纳得到结果,但康轩版更能清晰呈现规律的来龙去脉,揭示了概念的本质,更具一般性.

3.1.2   理念的差异

由上述横向比较的结果可推知两个版本的教材所隐含的理念存在异同之处.就相同处而言,分数除法这一内容符合六年级学生的认知水平,其学习需经由简单到复杂的过程,且学习结果都强调计算技能的掌握.就差异之处而言,两个版本教材对分数除法这一内容的内在本质的理解存在不同.这其中,由苏教版教材的编排或可推断分数除法的内在本质在于其计算规则,即分数除法意在让学生掌握这一运算规则,因而其编排力求帮助学生从不同的例子中归纳得出分数除法的运算规则.然而,康轩版教材的编排或可推断分数除法的内在本质在于转换成相同单位的运算,即分数除法与整数除法、小数除法类似,都需经过单位的转换.正因此,其编排力求逐渐帮助学生理解分数除法的内在本质,进而掌握并运用分数除法.

3.1.3   教学实践的影响

从学生的认知和教师的教学来看,康轩版或许更适合学生的“学”和教师对“教”的把握.以“学”而言,一方面,就学习结果来说,苏教版的编排或许能让学生在较短时间内认识和掌握分数除法的规则,而康轩版则需花费较多的时间来学习和掌握分数除法的规则.但另一方面,就学习效果来说,康轩版教材可能会帮助学生深化对小学阶段所学的整数、小数的加法、减法、乘法以及除法的认识.如此,虽然结果都是掌握了分数除法的规则,但效果上可能会有一些差距.以“教”而言,正如本文开篇所言,一些教师可能很难确切地把握分数除法的内在本质,但在康轩版教材的编排中,不仅深化了学生对分数除法以及四则运算的认识,而且也帮助教师认识到分数除法与小学阶段的四则运算的关系,进而其在分数除法以及其它年段四则运算的教学时,可能就会有意识地渗透这一思想,如此或可提升小学数学教学的品质.

3.2    研究讨论

大陆与台湾虽有海峡相隔,但文化同源,近年来台湾的小学数学教育的研究比较深入,通过上述教材的比较,下述几点将是教材编写和小学数学教学实践需注意的.

一是合理把握教材的难度.例题之间应留有合适的坡度,可以给学生探索和思考留白,但跨度太大,会对学生认知造成人为障碍.如何由“教材”转变为“学材”,中国台湾(甚至新加坡)等地的教材都能给予很好的启示.

二是注意体现知识的本质.核心素养的培育,教师要掌握教育的核心技术——能够辨析教育的核心知识、辨识学生发展的关键期、懂得如何激发学生的思维[15].从学生的角度讲,核心技术就是“学什么”和“怎么学”的问题,从教材编写的角度而言,就是要把握知识的本质,呈现知识形成的文化境脉.而只有结构的知识才能帮助学生建构知识的结构,因此教材编写和教学实践中需通过结构的方式体现知识的本质.

三是关注数学概念的理解.学生对概念的深层次理解与例题的多样性和例题对概念结构的完整呈现关系密切.这一点康轩版教材给予了很好的启示.Van De Walle指出,在短时间内将焦点注意在分数计算规则和答案的获得,有两种显著危险,第一是没有帮助学生思考关于运算的意义和为何他们要如此做,第二,这种规则的获得将很快就会失去,这些用于分数计算的规则将变得相似和混淆[16].因此,在教材编写以及教学实践中需关注学生概念的理解,而非聚焦于规则的记忆和答案的获得.

教材是教师教学和学生学习最重要的载体,某种程度上说,教材呈现的方式和内容决定了教师怎么教和学生如何学,因此通过对不同教材的比较研究,汲取各个教材的长处,对进一步深化课程与教学改革,落实核心素养目标具有重要意义.


参考文献        

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A Comparison of Fractional Division in Primary School Mathematics Textbooks in Mainland China and Taiwan China
ZHANG Ping1, PENG Liang2, XU Wen-bin3
(1. Zhangjiagang Jingang Central Primary School, Jiangsu Suzhou 215633, China;2. Nanjing Xiaozhuang College Teacher Education College, Jiangsu Nanjing 211171, China;3. Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)


Abstract:  The arrangement of teaching materials affected the teaching of teachers and the learning of students to a certain extent. Based on this, the point of entry was the division of fraction, which was a difficult point in computational teaching. From the horizontal and vertical dimensions, we compared the arrangement of fractional division in the textbooks of mainland China (Sujiao version) and Taiwan China (Kangxuan version). Through the comparison, it was found that in the overall structure, the number of examples of Kangxuan’s textbooks was more than that of the Sujiao version; The number of Sujiao version exercises was more than twice that of the Kangxuan version; The Kangxuan version involved more knowledge points and the content was difficult, but the slope of the difficulty among the questions was smaller than that of the Sujiao version. In terms of the organization of specific content, the Sujiao version got calculation rules through case contacts, guided guesses, etc., that was, by incomplete induction, and the Kangxuan version got calculation rules from processes such as multiple case presentations, algorithm guidance, and discovering laws. Its example structure was complete and the algorithm was unified before and after. Therefore, the writing and teaching practice of primary school mathematics teaching materials needed to reasonably grasp the difficulty among the examples in the teaching materials, consciously paid attention to the essence and context of the mathematical knowledge involved in the content of the teaching materials, and highlight the deep understanding of mathematical concepts.
Key words:  fractional division; comparison of teaching materials; Sujiao version; Kangxuan version



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