基于整体理解的“勾股定理”教学再探——与吴增生老师商榷

王海青等 数学教育学报JME 2018-12-25

引用格式:王海青,曹广福.基于整体理解的“勾股定理”教学再探——与吴增生老师商榷[J].数学教育学报,2018,27(5):37–41.

作者信息                

王海青1,曹广福2                

(1.惠州学院 数学与大数据学院,广东 惠州  516007;2.广州大学 数学与信息科学学院,广东 广州  510006)

王海青(1978—),女,广东河源人,副教授,博士生,主要从事数学史与数学课堂教学研究.

基金项目                

广东省教育科学研究课题——基于课程群理念的数学学科教育课程重构与教学方式研究(2014GXJK144);广东省本科高校高等教育教学改革课题——卓越人才培养模式下职前数学教师整体教学观的形成研究(2016)


摘要        
数学教学过程要讲清知识的来龙去脉,揭示数学本质,体现数学精神.据此确定勾股定理的教学重点为:定理的发现及证明过程蕴含的数学思想与方法.教师需借助历史梳理知识背后的精神实质并依据教材把握教学内容的地位与作用,从而建构对勾股定理的整体认知.结合学生实际设置合适的问题情境与探究活动,实现以“问题驱动教学”的高效数学课堂,让学生真正经历知识的“再发现”并体验相应的思想方法.


关键词:数学教学;勾股定理;教学价值;整体教学观
中图分类号:G632  文献标识码:A  文章编号:1004–9894(2018)05–0037–05

在数学的浩瀚海洋里,能受众广泛又自带娱乐色彩的数学定理也许非“勾股定理”莫属了.古往今来,从数学家到普通民众甚至是位高权重的总统都乐于寻找勾股定理各种有趣的证明方法.有著者[1]从近四百种不同的证法中精选出365种编写成册供读者赏析,其中不乏简明直观的初等证明.关于勾股定理的研究文献[2–5]有很多,大家从情境创设,探究活动的组织,内容剖析或文化差异等不同视角提出建议与见解.那么,从教学的角度审视,如何看待勾股定理在教材中的地位和作用?它的教学价值与重点是什么?


1争鸣的背景        

2017年2月,吴增生老师等人在《数学教育学报》的第26卷第1期发表了题为“勾股定理教学实验研究——让学生真正经历勾股定理的‘再发现’过程”[6]的文章.作者力求让学生自然经历知识的再发现过程来展开教学探究活动.文[6]归纳了日本、新加坡及国内数学教材的几个不同版本关于“勾股定理”教学内容的呈现方式:直接给出命题并加以证明;让学生直接测量直角三角形的三边,发现结论再利用面积法加以证明;在网格中计算直角三角形三边所对应的正方形的面积,发现3个面积之间的关系引出命题;直接让学生用4个全等的直角三角形拼出正方形,根据面积关系来发现定理.第一种方式是公理化体系的典型表现,而后面3种方式的发现过程又显得造作生硬,难于让学生自然经历定理的再发现过程.因此,文[6]结合数学史和学生的认知设计了以下探究活动:(1)用大小相同的正方形纸片剪拼成一个大正方形;(2)用大小不同的正方形纸片剪拼成一个大正方形.学生在类比任务(1)的基础上完成任务(2),在解决问题的过程中发现勾股定理.实验表明这样的探究发现过程获得较好的教学效果.

教材的各种呈现方式以及文[6]的教学改进反映了勾股定理教学的3个层面[2]:(1)知道勾股定理;(2)证明勾股定理;(3)发现勾股定理.知道或证明勾股定理是较为容易的,属于浅层次的教学,也是目前教案设计中常见的情形.要让学生在不知道勾股定理的情况下发现它却是很困难的工作.文[6]正是基于第(3)层面的考虑,将教学重心放在对定理的“再发现”这个深层次的教学目标上,凸显了教学设计的高度.

荷兰数学教育家弗莱登塔尔认为:“年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了.”[7]所以数学教学就是数学的再发现过程,他强调教师应依据历史及学生的实际对教学内容进行“再创造”,引导学生经历发现数学知识的过程,更要体验知识背后所蕴含的数学思想与方法.那么,文[6]创设的探究活动(1)和(2)是否符合勾股定理的历史发展过程?文[6]的探究目的是引导学生“再发现”勾股定理,体验自我发现的快乐与成就感,除此之外,还应让学生掌握哪些更为重要的数学本质呢?


2基于整体理解的中学数学教学思考        

教学设计总是要围绕着3个基本问题[8](教什么,怎么教以及教的效果)展开探讨,也即对应于教学内容、教学形式和教学效果3个方面.回答“教什么”要远比“怎么教”重要,因为教学内容决定着教学的形式.李大潜院士说:“数学教育的本质是一种素质教育,学数学不是学定理,背公式,而是提高素养.”[9]因此,数学教学应该讲清楚知识的来龙去脉,丰富的内涵和广泛的应用性,及其背后的精神实质和思想方法.高水平的数学教学应该是教师通过具体知识的教学揭示其中的隐性知识——数学的本质、过程、思想和结构[10]

传统的数学知识大都是为了解决生活问题、自然科学问题或是数学自身的逻辑问题而形成的,都有真实的背景,它们具有一定的生活意义、数学价值或科学价值[11–12].所以,教师要掌握数学学科的整体结构才能更好地把握承载在具体知识之上的数学本质.另外,数学教学的重要原则是“揭示内在联系,构建知识网络”[13].这也亟待教师具备整体的思考理念和教学观,将具体的课时知识置于单元、学段乃至数学学科的整体框架中进行分析.而数学史记载着数学知识和思想的形成过程,教师可以借助历史追溯知识的本源与发展过程,解决问题过程中所使用的方法策略.数学史也能帮助教师预测学生的认知困难,因为个体对数学理解的发展遵循数学的历史发展顺序,即通常所说的“历史相似性”[7,14]

可见,教师需依据历史揭示知识背后的思想方法,借助教材的整体结构把握教学内容的地位与作用.由此结合学生的实际进行“再创造”,设置合适的问题情境与探究活动,实现以“问题驱动教学”[5,11,15]的高效数学课堂,让学生真正经历知识的“再发现”并体验相应的思想方法.


3中西方数学发展史中的“勾股定理”        

3.1    勾股定理与古希腊数学        

勾股定理起源于实际测量和计算是没有疑问的.在西方,勾股定理被称为毕达哥拉斯定理.直角三角形中的三边关系,早在古巴比伦时期人们就已经知道并用于计算,他们还知道许多勾股数组.但那时还没有严格证明的思想,他们是在解决实际问题中从直观认识得出结果并用于一般情况.到了古希腊,勾股定理虽然以毕达哥拉斯命名,但许多研究表明这个学派可能并未给予证明,最合理的解释是:他们根据一些特例来肯定所得的结果[16]

有史学家把勾股定理的第一个严谨证明归功于古希腊的数学家欧几里得(公元前325年—前265年).欧几里得的《原本》是一本知识丰富且最早以公理化体系组织内容的数学书籍.他关于勾股定理的证明过程突出体现了《原本》在处理几何与代数问题时所采用的主要思想——数形结合、转化与等积变换.在中学数学教学中,不管是在几何还是在代数方面,这些思想的适用性都不胜枚举.

欧几里得的证明思路为:将边长问题转化为面积问题;将代数等式与平面图形结合;把上方的两个正方形,通过等底同高的三角形面积关系,转换成下方两个等面积的长方形.如图1,设 ∠ACB=90°,AB=cAC=bBC=a.作边长分别为abc的3个正方形.连接CDBF,过点CCLDE,交ABO,交DEL.容易得到△CAD≌△FAB中.由图形中等底同高图形的面积关系得:SCAD=—12S矩形ADLO,SFAB=—12S正方形FACG,所以S矩形ADLO=S正方形FACG.同理可得S矩形OLEB=S正方形CBKH.即有c2=a2+b2

图1

古希腊人不愿意承认无理数是数,也就不能从数量上处理所有的长度、面积和体积,这样他们就用线段来代替数.两数的乘积表示相应边长的矩形面积,3数的乘积表示一体积,3个以上的数相乘就没有意义了,因为没有几何实体与之对应.自然地,许多代数问题的解决也就转化为面积或体积进行处理,这也造就了欧几里得《原本》的证明特色.比如,完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2在《原本》中就是构造相应矩形和正方形的面积给予几何证明的(如图2、图3),正如现在中学教材里给出的直观几何解释一样.图3还包含了平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的几何意义.因为在古希腊时期还没有出现负数,这些看起来不算严谨的几何证明在当时是没有问题的.即使是今天,这种对代数表达式的直观理解方式仍有助于学生更为深刻地认识和运用数学知识.

图2

图3

后来,古希腊的哲学家普路塔克(Plutarch,约公元46年—120年)在他的书中介绍了用正方形面积割补证明勾股定理的方法[6].如图4,设直角三角形的两直角边长分别为ab,斜边长为c,以此三角形为基础,作两个边长为a+b的正方形,根据大小正方形面积和三角形面积之间的关系,得到a2+b2=c2

图4

3.2    勾股定理与古代中国数学        

在古代中国,勾股定理的发现要远早于西方.《周髀算经》与《九章算术》是数学经典巨著,凝聚了前人的智慧结晶,也高度反映了当时的中国数学家重视计算与应用的典型特征.

中国最古老的一部数学著作《周髀算经》成书于公元前1世纪西汉商高时代,东汉三国时期吴国的赵爽(约公元182年—250年)曾为其作注.《周髀算经注》中记载了赵爽为证明勾股定理所作“勾股圆方图”即“赵爽弦图”(如图5).这是极具东方特色的勾股定理无字证明法,证明的思路直观体现在由4个直角三角形所构造的正方形图形中.而《九章算术》成书于东汉初期,现今流传的大多是东汉末年三国时期魏晋数学家刘徽(约公元225年—295年)的《九章算术注》.刘徽根据“出入相补原理”即割补术给出了青朱出入图(如图6)证明了勾股定理.与《原本》类似,刘徽在注中也根据面积概念几何地论证了平方差公式.

图5

图6

出入相补原理或称割补术就是一种面积变换法.所以,不管是在古希腊还是在古代中国,面积法的使用都非常广泛.在《九章算术》第一章“方田”[17]中就专门介绍了出入相补原理及其应用,平面几何图形的面积公式都利用割补“以盈补虚”转化为已知图形面积来推导.比如,三角形面积的推导转化为等积的矩形来计算.如图7,过三角形两边的中点作高构造出矩形,易得三角形的面积为“半广乘正从”,“广”指三角形的底,“正从”指三角形的高.

图7

多边形可以分割成三角形,三角形则可转化为等积的矩形,而利用直角三角形的射影定理可以作一正方形为等积的矩形(方出于矩).因此,正方形是一个特殊的存在,三角形、矩形、平行四边形与梯形等平面图形的面积公式都由此衍生.这也就不难理解古人为何如此热衷于此类尺规作图问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体体积的两倍(倍立方问题);作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积(化圆为方问题);做一个正方形为两个已知正方形的面积等.前两个是历史上有名的尺规作图不能问题,第三个问题的解答则对应于刘徽的“青朱出入图”,详解如图8.如果问题三中的两个正方形变为两个全等矩形,也可以类比“青朱出入图”构造出正方形,如图9,这就是前面提到的“赵爽弦图”.

图8

图9

由此可见,文[6]设置的探究活动是符合历史的发展情形的.依据历史,或许可以得出这样的结论:古人在丈量土地和实际的测量中归纳出勾股定理这个结论,而在利用等积变换的思想处理作图等数学问题中自然地发现了图中隐含了勾股定理的证明过程.也正是因为勾股定理的结论与证明不同步,造成了教学处理上的困难.


4对勾股定理教学内容的整体理解        

数学史所展现的知识脉络有助于教师对勾股定理的整体认识,理解知识及背后所涉及的思想与方法,帮助教师分析其在教材中的地位并确定教学重点.

4.1    勾股定理在教材中的地位与作用        

从教材的横向结构即初中学段的数学内容看,勾股定理能解决许多关于三角形的长度和角度的计算与证明问题,且其证明思想与许多看似无关的知识点联系紧密.事实上,面积法是处理平面几何问题不可或缺的重要方法.比如,三角形中位线定理就可看作是利用割补法推导三角形面积公式时的一个衍生结论,图7就隐含了它的证明过程.自然可以通过问题“如何将一个三角形变为等积的矩形”来展开三角形中位线定理的探究教学.在代数方面,比如前面提到的完全平方公式和平方差公式的几何解释,就是直接利用了勾股定理的证明思路,将数量关系转化为面积关系,将代数的形式表述转化为几何的直观描述.

从教材的纵向结构看,勾股定理与高中学段的许多数学知识也关系密切.首先,勾股定理涉及直角三角形中的三边关系,自然会有一个延伸问题:对于一般的三角形三边又满足怎样的关系呢?这就涉及正弦定理和余弦定理的教学内容.所以从高中的数学知识结构看,勾股定理只是余弦定理的一个特例.另外,勾股定理所涉及的等积变换思想在立体几何教学中也尤为重要,常常要通过等体积变换来计算或证明空间几何问题.在代数方面,高中有一个重要结论——基本不等式:a+b≥2ab为正数,当且仅当a=b时等号成立.图3及赵爽弦图能直观简洁地解释基本不等式的几何意义.利用面积法几何地解释基本不等式的重要性还在于,这种数形结合的思维可以应用到许多不等式的计算与证明中.例如,若ab为正数,-=5,求证3a-2b≤50.利用面积法可以构造简单的几何图形将这个代数问题转化为直观的几何问题.假设≥5,构造一个边长=+5的正方形,如图10.显然,()2-2()2=2×52-(-5)2,即有3a-2b≤50,当=5时等号成立.同样,当≤5时结论依然成立.

图10

4.2    勾股定理的教学价值与重点        

不言而喻,勾股定理在整个中学阶段具有举足轻重的地位,其证明所涉及的转化、等积变换与数形结合的数学思想方法贯穿整个中学数学的教学.教材是知识的载体,中学数学教学的核心应体现数学的思想性,揭示知识背后的研究精神与价值.因此,勾股定理的教学价值在于:一是它能解决实际问题具有生活意义;二是定理证明所蕴含的丰富而重要的数学思想方法;三是定理证明所反映的东西方数学文化的差异性;四是定理所体现的数学对仗工整与简洁之美.这些恰恰是学生为什么要学,教师为什么要教的原因,也是勾股定理的教学重点所在.


5从历史到课堂:勾股定理的教学思路分析        

教学过程要揭示数学本质,体现数学精神.对照前面提到的勾股定理教学的3个层面,教师更应该着眼于教学的第四个层面:勾股定理的发现及证明过程蕴含的数学思想与方法.勾股定理的结论属于知识层面,而发现与证明过程中所使用的思维方式与研究方法等属于思想层面.因此,文[6]的教学设计还有优化的空间,在引导学生自然发现勾股定理的基础上需进一步揭示知识的思想性.基于对勾股定理的整体认识,可按以下教学思路带领学生展开探究.

(1)设置具有生活意义的现实情境引入课题.

人们在现实生活中要处理许多的测量问题,比如长度、面积或体积等.由于受到实际情形的限制,有些数值需借助其它容易测量的数值进行计算.看下面一个问题.

维修工人要对一面有圆形拱门的墙体进行修缮,如图11.工人们要测量圆形拱门的最高点与地面的距离,但身边只有一把短尺和一架已知长度为5米的梯子.他们将梯子的末端架在拱门的顶部位置,测出此时梯子接触地面的一端到拱门底部的距离为3米,从而计算出拱门的高.你知道圆形拱门的高是多少吗?为什么?

图11

引导学生将这个现实生活中的测量问题简化为数学问题:如图12,在Rt△ABC中∠C=90°,AB=5m,BC=3m,AC长为多少?

图12

显然之前的知识不够用了.这节课大家的主要任务就是一起“解码”直角三角形的三边关系并解决这个实际问题.

(设计意图:通过创设现实情境,让学生体会到即将学习的新知识的重要性,它具有现实意义和生活价值,激发求知欲.同时,引导学生将现实情境转化为数学模型与问题,重视“横向数学化”[7]的教学,培养学生简单的数学建模思想.)

(2)新课探究,提炼结论和数学思想.

在测量技术与工具都比较落后的古巴比伦和古中国时代,因为经常洪水泛滥冲毁田地,人们需要不断丈量土地的距离与面积.慢慢地人们归纳出许多计算长度和面积的实用方法和公式.在面积计算上,正方形是最简单也是最重要的平面图形.因此,古代的数学家对有关正方形的作图问题非常感兴趣.

问题1:如何作一个大正方形为两个大小相同的正方形面积之和?

引导学生利用割补法构造出图13,根据面积关系得到等式:c2=2a2,并用文字表述为:等腰直角三角形斜边长的平方等于两腰长的平方和.

图13

分析归纳图13的构造要点:沿对角线剪取三角形是为了拼补后的图形邻边相等且相互垂直(小学已有正方形的定义).再改变问题1的条件将其一般化.

问题2:如何作一个大正方形为两个大小不同的正方形面积之和?

启发学生结合图13的构造特点类比解决问题2,得到图8.同样利用图8的面积关系概括出等式:c2=a2+b2,用文字语言表述为:直角三角形斜边长的平方等于两直角边的平方和.这就是直角三角形三边关系的一个结论,称之为勾股定理.正方形的面积割补问题提供了勾股定理的证明方法.

引领学生归纳探究过程:问题1和问题2的解决都运用了割补即等积变换的思想;从问题1到问题2的过程涉及特殊到一般、类比的思想;在概括定理的文字表述和代数形式描述时体现了数形结合的思想;正方形的面积关系转化为直角三角形的边长关系,实现了一维的长度问题与二维的面积问题的相互转化.证明过程还提供了一个解决代数问题的思路:许多代数表达式中两数乘积,3数乘积可转化为面积、体积来处理.

(设计意图:通过两个问题的探究让学生自然地发现勾股定理,经历和体验数学再发现的过程与乐趣.更为重要的是,在探究过程中和探究之后教师重视引导学生归纳所涉及的数学思想方法,揭示知识背后的数学本质.)

(3)定理的应用与巩固.

利用勾股定理立刻可以解决前面圆形拱门高的实际问题.然后结合学生实际和教材内容设置有梯度的习题加以练习,加强学生对勾股定理的认识与运用.

(限于篇幅,习题从略.)

(4)不同证明的欣赏与比较,突出思想的统一性和东西方文化的差异性.

根据教学时间向学生介绍“赵爽弦图”(图9)和欧几里得证法(图1),它们也都充分运用了等积变换、转化与数形结合的思想,却又各具特色.欧几里得证法推理严谨,重在演绎.赵爽和刘徽的证法通俗易懂,重在应用.两者的证明也反映了古代中国和古希腊两种不同风格的数学文化.古希腊人追求用公理进行逻辑推演,注重理性思维的培养,而中国古代数学则崇尚实用和算法.

此外,等式a2+b2=c2简洁、对称,证明的方法多样、直观,图形构造简单又不失美感.可见,勾股定理的内容与证明所体现的美学价值,也是吸引众多的数学爱好者寻找各种证明的原因之一.

(5)课堂小结.

引导学生从以下3个方面对该节课的内容进行梳理和归纳:

首先,利用勾股定理可以解决哪些数学问题?

其次,在勾股定理的发现和证明过程中,运用了哪些数学思想与方法?

最后,勾股定理及其证明的美学价值在哪里?


参考文献        

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[2]  张广祥.从勾股定理看数学探究[J].数学教学通讯,2003(2):1–3.
[3]  杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析[J].数学通报,2011,50(3):40–43.
[4]  王芳,张维.多元文化下的勾股定理[J].数学教育学报,2004,13(4):34–36.
[5]  张蜀青,曹广福.以问题驱动的原理课教学——以勾股定理教学为例[J].中学数学月刊,2014(8):34–35.
[6]  吴增生,郑燕虹,李宏彦,等.勾股定理教学实验研究——让学生真正经历勾股定理的“再发现”过程[J].数学教育学报,2017,26(1):50–54.
[7]  弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海:上海教育出版社,1992:94–95.
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[9]  李大潜.数学学习的本质是提高素质[N].中国青年报,2012–07–16(9).
[10] 李祎.高水平数学教学到底该教什么[J].数学教育学报,2014,23(6):31–35.
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[12] 曹广福.论数学教育的本质[DB/OL].(2016–05–26)[2018–04–01].http://blog.sciencenet.cn/blog-40247- 979814.html.
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[15] 张荫南.新概念数学——用“问题驱动”的数学[J].数学教学,2004(4):1–2.
[16] 莫里斯 克莱因.古今数学思想(第一册)[M].上海:上海科学技术出版社,2014:29.
[17] 徐品方.白话九章算术[M].成都:成都时代出版社,2002:37.


Reconsideration of Pythagorean Theorem Teaching Based on Holistic Understanding

——Discussion with WU Zeng-sheng
WANG Hai-qing1, CAO Guang-fu2
(1. School of Mathematics & Big Data, Huizhou University, Guangdong Huizhou 516007, China; 2. School of Mathematics & Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)


Abstract:  Mathematical development, mathematical nature and spirit should be revealed in mathematics teaching. Therefore, discovery of Pythagorean theorem of and thought of mathematical in proof procedure which were teaching important points. To construct the overall recognition of the Pythagorean theorem, teachers needed to know the essence of mathematics knowledge with the help of history and grasp the status and role of teaching content based on teaching material. Hence, teacher could create appropriate problem situation and exploration activity combined with students’ reality, to achieve effective mathematics classroom based on “issue-driven teaching”. Which made students to experience the real “rediscovery” of knowledge and the corresponding thinking.
Key words:  mathematics teaching; Pythagorean theorem; teaching value; view of holistic approach



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