漫画:图的 “多源” 最短路径

蠢萌的小灰 梦见 2019-04-29



—————  第二天  —————








小灰的思路如下:


第一步,利用迪杰斯特拉算法的距离表,求出从顶点A出发,到其他各个顶点的最短距离:




第二步,继续使用迪杰斯特拉算法,求出从顶点B出发,到其他各个顶点的最短距离。

第三步,从顶点C出发,到各个顶点的最短距离。

第四步,从顶点D出发......

.......

就像这样,一直遍历到顶点G。


这个思路的时间复杂度是多少呢?

假如图中有n个顶点,如果不考虑堆优化,一次迪杰斯特拉算法的时间复杂度是O(n^2)。所以,把每一个顶点都计算一遍,总的时间复杂度是O(n^3)。






————————————









举一个栗子:



上图的顶点A和顶点C没有直接相连的边,它们之间的直接距离是无穷大。

如果以B作为“中继顶点”,此时A到C的最短路径就是A-B-C,最短距离是3+2=5。




再举一个栗子:



上图的顶点A和顶点C直接相连,距离是6。但是存在一条“迂回”路径A-B-C,距离是3+2=5<6。

所以,经过中继顶点B,从A到C的最短距离可以是5。




下面我们来看一看Floyd算法的详细步骤。


1.要实现Floyd算法,首先需要构建带权图的邻接矩阵:


在邻接矩阵当中,每一个数字代表着从某个顶点到另一个顶点的直接距离,这个距离是没有涉及到任何中继顶点的。


2.此时假定只允许以顶点A作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

B和C之间的距离原本是无穷大,此时以A为中继,距离缩短为AB距离+AC距离=

5+2=7。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点A到其他顶点的临时距离):



3.接下来以顶点A、B作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

A和D之间的距离原本是无穷大,此时以B为中继,距离缩短为AB距离+BD距离=5+1=6。

A和E之间的距离原本是无穷大,此时以B为中继,距离缩短为AB距离+BE距离=5+6=11。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点B到其他顶点的临时距离):


4.接下来以顶点A、B、C作为中继顶点,那么各顶点之间的距离会变成什么样子呢?

A和F之间的距离原本是无穷大,此时以C为中继,距离缩短为AC距离+CF距离=2+8=10。

更新对应矩阵元素(橙色区域代表顶点C到其他顶点的临时距离):


.........

.........


以此类推,我们不断引入新的中继顶点,不断刷新矩阵中的临时距离。

最终,当所有顶点都可以作为中继顶点时,我们的距离矩阵更新如下:



此时,矩阵中每一个元素,都对应着某顶点到另一个顶点的最短距离。



为什么这么说呢?让我们回顾一下动态规划的两大要素:

问题的初始状态
问题的状态转移方程式


对于寻找图的所有顶点之间距离的问题,初始状态就是顶点之间的直接距离,也就是邻接矩阵。


而问题的状态转移方程式又是什么呢?

假设新引入的中继顶点是n,那么:


顶点i 到 顶点j 的新距离 = Min(顶点i 到 顶点j 的旧距离,顶点i 到 顶点n 的距离+顶点n 到 顶点j 的距离)



  1. final static int INF = Integer.MAX_VALUE;


  2. public static void floyd(int[][] matrix){

  3. //循环更新矩阵的值

  4. for(int k=0; k<matrix.length; k++){

  5. for(int i=0; i<matrix.length; i++){

  6. for(int j=0; j<matrix.length; j++){

  7. if(matrix[i][k] == INF || matrix[k][j] == INF) {

  8. continue;

  9. }

  10. matrix[i][j] = Math.min(matrix[i][j], matrix[i][k] + matrix[k][j]);

  11. }

  12. }

  13. }

  14. // 打印floyd最短路径的结果

  15. System.out.printf("最短路径矩阵: \n");

  16. for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {

  17. for (int j = 0; j < matrix.length; j++)

  18. System.out.printf("%3d ", matrix[i][j]);

  19. System.out.printf("\n");

  20. }

  21. }


  1. public static void main(String[] args) {

  2. int[][] matrix = {

  3. {0, 5, 2, INF, INF, INF, INF},

  4. {5, 0, INF, 1, 6, INF, INF},

  5. {2, INF, 0, 6, INF, 8, INF},

  6. {INF, 1, 6, 0, 1, 2, INF},

  7. {INF, 6, INF, 1, 0, INF, 7},

  8. {INF, INF, 8, 2, INF, 0, 3},

  9. {INF, INF, INF, INF, 7, 3, 0}

  10. };

  11. floyd(matrix);

  12. }





—————END—————




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