试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理

史宁中 数学教育学报JME 2019-05-20


作者信息                

史宁中

(东北师范大学 数学与统计学院,吉林 长春  130024)


摘要        
论证了数学推理、进而论证了一类逻辑推理的本质是推理的过程具有传递性,包括关系传递性和性质传递性,并且用数学的语言和符号确切地表述了这两种传递性.因为数学推理的对象是数学命题,数学命题又隐含着数学研究对象的定义,因此,限定了数学定义和数学命题的基本形态.为了数学教育的需要,基于所表述的两种传递性,进一步论证了常用的数学论证方法为什么会是有效的.研究结论对于数学教育的发展是重要的,对于逻辑学的发展也是有意义的.


关键词:逻辑推理;演绎;归纳;类比;数学命题;数学定义
中图分类号:G40-03  文献标识码:A  文章编号:1004–9894(2016)04–0001–16

正在修订的《普通高中数学课程标准》一个突出的特点是强调数学核心素养,至今为止提出6个数学核心素养,其中一个是逻辑推理,把内涵和外延表述为:

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其它命题的素养.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎.

事实上,数学教育、甚至逻辑学面临一个尴尬的局面,一方面,人们确信数学的推理是有逻辑的,另一方面,人们又很难用简单的语言、一般性地表述清楚为什么数学的推理是有逻辑的.这是因为,很难用简单的语言、一般性地表述清楚什么样的推理是有逻辑的.这里试图把这个问题讨论清楚,试图用简洁的数学语言和符号表述清楚数学推理的形式,更确切地说,表述清楚前文所说的逻辑推理依据的规则是什么.虽然对于这个问题进行了长时间的缜密思考,但仍然会有一些表述不确切、甚至不正确的地方,欢迎批评指正.

研究局限在数学范围讨论,因为一般的情况实在是太复杂.但是,因为数学的推理是逻辑推理中最重要的内容,因此研究结论对于更为一般性的逻辑推理的讨论是具有借鉴意义的.无论如何,把这个问题讨论清楚,不仅对于数学教育的发展、乃至对于逻辑学的发展都是重要的.

讨论中将不时地引入一些古代中国哲人的有关论述,这不仅仅是为了弘扬中国传统文化,更重要的原因是,作为后代子孙有责任研究清楚、并且表达清楚祖先的思维形式,以及这些思维形式对当代思维的影响.

推理的对象是命题,命题中隐含着研究对象的定义,因此在具体讨论之前,有必要从功能上认识清楚定义、命题、推理之间的关系.对此,《墨经·小取》中有一段言简意赅,但含义明确、寓意深刻的论述:“以名举实,以辞抒意,以说出故.”用现代语言把这段文字表述如下1

通过定义(名)明确讨论问题的对象(实),通过命题(辞)表述讨论问题的实质(意),通过论证(说)得到讨论问题的缘由(故).

可以这样理解上述内容.“以名举实”的含义是:定义(名)是对象(实)的抽象,可以通过举例来说明(举),这些抽象了的定义构成了研究的对象;“以辞抒意”的含义是:定义本身并没有表述研究对象的实质(意),研究对象的实质是通过命题(辞)表述的2;“以说出故”的含义是:命题所表述的东西不一定就是正确的,其中的道理(故)是需要论证(说)的.

可以看到,古代中国先哲、至少是有些先哲对定义和命题的功能、以及推理与这二者之间关系的理解是相当深刻的.下面,分别讨论数学定义、数学命题、数学推理及其相关内容.


1数学的定义

在中国形式逻辑的教科书中,对定义的“定义”大体上是一致的3:定义是揭示研究问题对象内涵的逻辑方法.这样的描述似乎非常深刻,这样的描述对定义的功能寄托了很大的期望.这种对定义的理解源于古希腊哲学,因为古希腊哲学对定义的要求相当苛刻,比如,古希腊早期学者苏格拉底就在论证过程中强调定义的严格,美国哲学家杜兰特在他的著作中生动地描述了苏格拉底的辩论场景,并且评价苏格拉底的辩论风格时说4:“再也没有比下定义更困难,更能严峻地考验和锻炼一个人思路的清晰和措辞的技巧了”.

事实上,现代哲学的发展表明,要对定义本身进行定义是一件非常困难的事情,并且随着哲学研究的深入,人们给出定义的形式愈发多种多样5.即便如此,为了研究数学推理的需要,这里依然确切地给出两种数学定义的形态:一种称为名义定义,源于古代中国哲学;一种称为实质定义,源于古希腊哲学.在下面的论述中将会看到,这两种形态的数学定义是必要的,似乎也是充分的.

名义定义.名义定义是指用举例说明或者符号表达的方法赋予研究对象称谓.如上引用《墨经·小取》所说的“以名举实”,古代中国哲学认为,定义就是给某一类东西赋予称谓,也正如春秋战国哲学家公孙龙子在《指物论》中所说的那样6:“如果没有名,天下的物就没有称谓了”.

现代数学的发展表明,在遵循古希腊哲学对定义提出的苛刻要求的同时,还应当看到,古代中国哲学朴实而单纯的关于定义的见解更为本质.这是因为,苛刻要求的定义对于数学最为本源、最为基本概念是行不通的,比如,算术中的自然数、加法;几何中的点、线、面.下面,将通过数学定义的演变过程来论证这个问题.

古希腊数学家欧几里得是用揭示内涵的方法定义数学概念最早的实践者,他的著作《几何原本》就是从点、线、面的定义开始的7

1. 点是没有部分的.2. 线只有长度而没有宽度.5. 面只有长度和宽度.

基于这些定义、以及规定了的5个公理和5个公设,欧几里得就用演绎推理的方法,论证了一系列数学命题、特别是论证了一系列几何命题的正确性.于是,欧几里得形式逻辑的论证方法就成为数学研究的典范,也成为近代物理学研究的楷模,正如爱因斯坦曾经说过的那样8

西方科学的发展是以两个伟大成就为基础,那就是:希腊哲学家发明的形式逻辑体系(在欧几里得几何学中),以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(在文艺复兴时期).

欧几里得的定义揭示了几何学最基本概念的内涵,这样的定义抽象了人们对图形的感觉.正是因为有了这样的揭示和抽象,才使得欧几里得几何学的表达如此深刻,产生了如此深远的影响.但是,对于越来越严格的数学,这样的定义至少存在两个本质上的弊病.

第一个弊病是关于内涵的.欧几里得定义的描述似乎是天经地义的,可是细想起来,这些描述也实在是让人费解:没有部分是什么东西呢?只有长度、没有宽度的东西是什么呢?这里不能不提出这样的问题:欧几里得所描述的东西存在吗?比如,可以给出金山的定义:金山是指由金子堆积而成的山.那么,是否因为有了这个定义,就可以认为金山存在呢?英国哲学家罗素在《西方哲学史》中曾经举过这个例子,以此说明:所谓揭示内涵的定义可以不顾及所定义了的东西本身是否存在.

特别是,欧几里得在后面的论证过程中,不加任何解释就使用了这样的命题:两条直线相交必然交于一点.应当如何理解这个命题呢?两条直线相交,怎么能交于没有部分的地方呢?如此追究下去,貌似严谨的欧几里得几何必然会漏洞百出,而造成漏洞的原因就在于那些企图揭示内涵的定义.古希腊学者赋予定义的功能太大,对定义的期望太高.

第二个弊病是关于外延的.根据欧几里得的定义,能够举例说明什么是“点”吗?或者更简单,能够判断一个东西是不是“点”吗?比如,基于人们眼睛观察,“空气”是没有部分的,是不是就可以说“空气”是“点”呢?显然,利用欧几里得的定义很难对这样的对象进行判断.

如果一个定义,又解释不清内涵、又确定不了外延,这个定义还有什么意义呢?但是,不到万不得已的时候,人们还是非常宽容的,是不会轻易改变的.当人们解释不清晰无理数的时候,就企图用几何作图的方法来解释无理数的运算,虽然这个解释最终是失败的;两千多年以后,当人们需要解释几何公理体系的相容性时,德国数学家希尔伯特又用解析几何的方法论证了这样的结论:“几何公理体系的无矛盾性”可以归结为“算术公理体系的无矛盾性”.而“算术公理体系的无矛盾性”是希尔伯特1900年在巴黎第二届数学家大会上提出的23个问题中的第二个问题.

但是,万不得已的时候还是到来了,原因并不是直接来源于几何学,而是因为一个强大的数学工具微积分的出现.17世纪后半叶,英国科学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼兹从不同角度独立地发明了微积分.微积分威力无比,借助微积分的计算人们可以清晰地解释天地万物的运动规律,但令人尴尬的事情是,数学家们却解释不清楚这种计算方法的道理是什么,其中最主要的原因是解释不清什么是极限.后来数学家终于意识到,为了合理地解释包括微积分在内的数学体系,就必须重新认识和表达数学最基本的研究对象,就必须把“数”的表达与人们对直线段上“点”的直观有机结合起来,正如德国数学家戴德金在《数的理论》这篇文章中,借用几何直觉给出实数“连续”定义时所说的原则9

苟直线上之点,裂为前后两段,前段各点均在后段各点之左,如是则必有一点,且仅有一点使此两段之分裂得以产生.

这样,“点”就再也不是“没有部分”的那种东西了,因为现在所说的点能够把直线分割为两个部分,这就意味着,数学家为了更有效地表达几何学的研究对象,就必须彻底改变欧几里得对几何学基本概念所用的、揭示内涵的表述方法.改变的唯一途径就是完全脱离几何的直观背景,使基本概念符号化.几何概念的符号化定义是由希尔伯特完成的,他在1882年谈出了自己的想法10

如果几何学要成为一门真正演绎的科学,那么必不可少的是:做出推论的方式既要与几何概念的意义无关,又要与图形无关;需要考虑的全部东西只是命题和定义所断言的几何概念之间的联系.

基于这个想法,希尔伯特在1899年出版的著作《几何基础》中,模仿欧几里得《几何原本》把几何学所要研究的对象写在著作的开篇11

设想有3组不同的对象:第一组的对象叫做点,用ABC,… 表示;第二组的对象叫做直线,用abc,… 表示;第三组的对象叫做平面,用αβγ,… 表示.点也叫做直线几何的元素;点和直线叫做平面几何的元素;点、直线和平面叫做空间几何的元素或空间元素.

乍一看上面的定义,人们会以为希尔伯特是在开玩笑,这样的定义只是用符号表示了所要研究的对象而已,这样的定义等于什么也没有说.确实如此,希尔伯特定义是对欧几里得定义的终极否定:不仅没有揭示对象的内涵,甚至没有描述所要定义的对象是什么.关于这样的定义,希尔伯特的理解是非常深刻的:如果说不清楚几何所要研究的对象是什么,唯一的办法就是形式化表示.这与前面所阐述的、古代中国先哲的看法是一致的:定义只不过是给一些东西起一个名字.

显然,如果定义只是一种形式化的符号表示,定义本身、或者说定义了什么东西就不重要了.那么,什么样的东西是重要的呢?重要的东西应当如何表达呢?希尔伯特曾经非常生动地阐述了他在《几何基础》这本著作中所给出的定义,并且述说了更重要的东西是什么12

欧几里得关于点、线、面的定义在数学上并不重要,它们之所以成为讨论的中心,仅仅是因为公理述说了它们之间的关系.换句话说,无论是称它们为点、线、面,还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯,最终推理得到的结论都是一样的.

在给出研究对象的称谓之后,希尔伯特提出了5组公理来确定研究对象之间的关系.借助这样的公理体系,前面谈到的“两条直线相交必然交于一点”的问题就迎刃而解了.同时可以看到,有了这样的公理体系,确实也不需要那些“揭示研究对象内涵”的定义了.

几乎在相同的时间,意大利数学家皮亚诺用“后继数”的思想符号化地定义了自然数13.皮亚诺的算术公理体系共有9条公理:第一条公理与第六条公理一起定义了自然数,同时也定义了加法;其余公理是为了保证自然数的唯一性、加法运算的合理性,以及数学归纳法的公理框架14

现代数学的基本概念“集合”的定义也经历了类似的过程.最初,德国数学家康托最早给出试图揭示内涵的定义:集合是指研究对象的全体.可是,研究对象是什么呢?这样的定义引发了诸多悖论,包括英国数理逻辑学家、哲学家罗素提出的理发师悖论.现在人们普遍认同的“集合”的定义基于ZF(策梅罗-弗兰克尔)集合公理系统,这个系统包括9个公理,确立了集合是由元素唯一确定的、集合的运算、无穷集合的可能,等等,其中关于集合的定义也是名义上的15

用大写字母ABC表示集合;用小写字母abc表示元素;用∈表示属于关系.如果元素a属于集合A,则表示为aA

综上所述,希尔伯特关于“点线面”、皮亚诺关于“数”、策梅罗关于“集合”的定义有一个共同特征,那就是用符号表达研究对象、对研究对象赋予称谓.这样的定义彻底摆脱了研究对象的所有物理属性,从而达到了抽象的极致.事实上,对于最为基本的概念,只有这样的定义才能真正地避免悖论的出现,因为凡是具体的述说就必然会有反例.

可以看到,名义定义具有简约、无歧义的特征,这种定义的可行性依赖于一个完备的公理体系,而对公理体系的理解需要相当的数学素养.这样,始于基本概念的基础教育阶段的数学教育就陷入了两难的境地:采用揭示内涵的定义无法保证数学的严谨,采用名义定义无法理解公理体系的逻辑.为此,基础教育阶段的数学教育必须独辟蹊径,汲取两种定义的合理内核,归纳出人们通常认识基本概念的思维模式,形成切实可行的教学模式.这个思维模式和教学模式的核心就是“对应”,也就是说,可以采用对应的方法引导学生认识和理解数学的基本概念.由于篇幅所限,不在这里讨论这个问题,有兴趣的读者可以参见作者的一本书16

如果说,数学最为基本的概念必须采用名义定义,那么,为了数学的发展而需要的那些概念则可以在基本概念的基础上采用实质定义.

实质定义.实质定义是指用“属加种差”的方法指明研究对象.其中“属”和“种”均借用了生物学的概念:“种”是“属”中特殊的一类,其中的特殊性能够用“种差”表明.这样的定义方法源于古希腊学者亚里士多德,亚里士多德认为每个合理的定义都应当有两部分,使得定义能够稳稳地站立在两只脚上17

首先,把特定的物体与具有同样一般特征的物体归为一类,比如,人是动物;其次,指出特定物体与同类其他物体差异的表现,比如,人是理性动物.

亚里士多德所说的两部分,恰好构成了属加种差的定义表达模式:人是“种”、动物是“属”、理性是“种差”.其中,“种”是被定义的,称为被定义项;“属加种差”是定义的,称为定义项.也就是说,在上述亚里士多德的话语中:“人”是被定义项,“理性动物”是定义项.下面,尝试用数学符号表达实质定义.

x表示一个元素,A表示一个集合,Ω表示一个类,P表示一个性质;用∈表示元素与集合之间的隶属关系, 表示集合与集合、集合与类之间的包含关系;用xP表示x具有性质PAP表示集合A中所有元素都具有性质P

约定:当使用“集合”这个词进行表述的时候,认为所谈论的对象是清晰的;当用“类”这个词进行表述的时候,可以认为谈论的对象并不那么清晰.所谓的清晰是指:能够确切地辨明一个对象属于这个集合、还是不属于这个集合.这样,可以把实质定义表示为

其中符号“”表示得到结论,相应的术语是“那么”或者“则”.在上面的表达式中,A是“种”、Ω是“属”、P是“种差”.

这样构建定义对于日常生活是可以的,比如,尽管大家并不清楚亚里士多德所说的“理性”到底是什么,因此无法判断是否存在非理性的人、也无法判断是否有人以外的理性动物,但依然可以使用亚里士多德的说法.可是,这样的定义对于数学却是不行的,因为(1)式所表达的定义还不够清晰.在下一个话题将会一般性地看到,如果数学的定义不够清晰,就必然会影响数学命题的确切性,进而影响数学推理的有效性.作为例子,讨论一个现在仍然在使用的数学定义.在现行的中小学数学教科书中,关于方程的定义是这样的:

称含有未知数的等式为方程.

这个定义是属加种差的形式:等式是“属”、方程是“种”、含有未知数是“种差”.但是,含有未知数的等式未必就是方程,比如2xx=x是一个含有未知数的等式,可这个等式表示的是符号运算,不是通常意义所说的方程.为什么会出现这样的情况呢?问题出在定义中的“种差”,在上述定义中的种差“含有未知数”这个性质不足以约束构成方程的等式.按照通常理解,所谓等式就是含有等号的数学式子,而等号具有两个功能18:第一个功能是表示数值(包括符号)运算的传递性,第二个功能是表示等式两边的数量相等.因此,第一个功能只是在讲述一个故事,在这一个故事中数值(包括符号)是等价的、是可以递推的;第二个功能必须讲述两个故事,在这两个故事中两个数量的意义可以不同、但数量相等.方程利用的是等号的第二个功能,而反例2xx=x利用的是等号的第一个功能,基于这个理由,含有未知数的等式就不一定是方程.

因此,要构建方程的实质定义,除却未知数这个要素外,还必须在性质中或者说在种差中彰显等号的第二个功能.比如,可以把方程的定义表述如下:

称含有未知数的表示等量关系的等式为方程.

在方程的实际教学中,强调方程的等量关系或许比单纯强调方程中的未知数更便于学生理解和把握方程的本质.通过上面的例子可以看到,对于数学的实质定义应当提出更“严格”的要求:如果把(1)式的表达看做充分性的话,那么还需要定义的必要性.也就是说,在数学实质定义中,被定义项的称谓与定义项的内涵述说必须是充分必要的19.对于这个要求,在(1)式的基础上,可以用数学符号进一步表示为:

数学的实质定义要求上面两个关系式同时成立.可以看到,实质定义的构建比较复杂,为了更好地规范和把握,人们制定出了一些规则,传统意义的规则大概可以包括下面5条20

1. 定义应当揭示种的本质属性.
2. 定义不能循环.
3. 定义既不能过宽又不能过窄.
4. 定义不能用歧义的、晦涩的或比喻的语言表述.
5. 定义可以用肯定表述就不用否定表述.

这5条规则似乎是非常合理的,可是,要使用这些规则来具体判断一个话语是否能成为实质定义却是非常困难的,因为这些要求过于笼统.简要分析上述的5条要求.

第1条是重要的,为了构建数学的实质定义,揭示本质属性的性质P必须是充分必要的;第二条极为重要,在数学上,定义的不循环是通过名义定义和实质定义这两个层次实现的;第三条和第四条已经被充分必要的要求所包含;第五条对于数学的实质定义是显然的.

事实上,如果要对一个数学概念构建实质定义,关键要思考两个问题:一个问题是这个数学概念本身是否足够清晰,需要判断是否存在一个集合、能够明确地知道这个概念是否属于这个集合;另一个问题是对这个数学概念内涵的表述是否足够清晰,需要判断是否可以得到一个说明内涵的性质、使(2)式成立.如果这两个问题都得到了满足,就可以构建数学的实质定义.


2数学的命题

数学定义确定了数学的研究对象,数学的结果是通过命题表述的.与实质定义一样,命题的表达也是一个陈述语句,但命题的目的不是为了给一个事物命名,而是述说已经命名了的事物的事情.命题陈述句述说的事情可能是正确的、也可能是错误的,这样,命题陈述句就为人们提供了一个判断21:或者通过逻辑的方法进行分析判断,或者通过经验的事实进行证实判断.人们称前一种判断方法为分析的,后一种判断方法为综合的.

数学命题的主观性与客观性.所谓数学命题的主观性与客观性是针对思想者而言的:如果命题是思想者正在思想的东西,那么数学命题就是主观的;如果数学命题的存在与思想者无关,数学命题只是思想者要判断的已经存在了的东西,那么数学命题就是客观的.

在中国,几乎所有形式逻辑的教科书,关于命题的论述都隐含着“命题就是判断”的指向22,这就意味着命题是主观的,因为所说的命题本身就承载着判断功能.因此在本质上,这些教科书中所讨论的命题是思想者应当如何进行思想的东西,无论如何,这样的认识不仅不利于研究数学推理的模式,也不利于指导数学教学.弗雷格和胡塞尔都非常强调这样的区别23,罗素则说的非常明确24:“命题就是可以有意义地加以断定或否定的东西”,这样命题就具有了客观性.

对于数学命题,可以做这样的划分:如果是为了得到数学命题,那么数学命题就是主观的,这时的数学命题是思想者正在思想着的东西;如果是为了验证数学命题,那么数学命题就是客观的,这时的数学命题是思想者要进行判断的东西.虽然这两种情况的思维过程都依赖逻辑推理,但推理形式却有着本质的不同.

两类数学命题.就陈述的内容而言,数学命题可以分为两类:一类称为性质命题,命题陈述内容涉及研究对象本身的性质;一类称为关系命题,命题陈述内容涉及两个或多个研究对象之间的关系.陈述内容的不同会导致语言表达方式不同,进而导致命题表述模式不同.罗素非常重视这种区分,甚至有过非常苛刻的论述25

因此,陈述两个事物具有某种关系的命题与主谓式命题具有不同形式,看不到这种区别或者不承认这种区别,一直是传统形而上学中许多谬误的根源.

性质命题就是主谓式命题,关系命题就是具有某种关系的命题.下面,针对数学的内容,分别讨论这两类命题的特征、以及各自的表述模式.

性质命题.就语言的表述形式而言,性质命题通常可以表示为系词结构,也就是用系词“是”把研究对象x与性质P连接起来.称x为所指项、P为命题项,相当于汉语语法中的主词和谓词.对于数学的性质命题,所指项必须是定义了的东西:或者是名义定义,以公理体系作为定义的支撑;或者是实质定义,以充分必要作为定义的支撑.性质命题的陈述模式可以用符号表示为:

其中(xA)意味着:虽然在命题的陈述模式中没有表现出来,但所指项x的定义必须是清晰的.用希腊字母Φ或者Ψ表示命题.就命题所陈述的内容而言,又可以把性质命题分为两种情况.

第一种情况是充分必要.在本质上,这里所说的“充分必要”与实质定义讨论的是一致的,即所指项定义的内涵与性质所包含的内容是等价的.比如,可以把勾股定理写成系词结构:

直角三角形是一条边长的平方等于其它两条边长平方之和的三角形.

显然,可以用充分必要的性质命题的“性质”给出研究对象新的定义,比如,基于上面的性质命题,可以给出直角三角形新的定义:

称一条边长的平方等于其它两条边长平方之和的三角形是直角三角形.

因此在本质上,数学实质定义是充分必要的性质命题.虽然所有充分必要的性质命题都可以用“性质”构成研究对象的新定义,但在一般情况下,人们还是习惯用不需要论证的话语作为研究对象的定义.比如,用“一个角为直角的三角形”这样的话语作为直角三角形的定义.

第二种情况是充分不必要.在一般意义下,性质命题中的研究对象都具有命题中所述说的性质,但具有性质的那些东西并不只限于研究对象,比如下面的命题:

加法是满足交换律的.

其中“加法”是研究对象、“交换律”是性质.虽然加法必须满足交换律,但满足交换律的运算并不只限于加法,比如还有乘法.基于上述分析,回顾曾经讨论过的方程的定义,虽然不是所有的含有未知数的等式都是方程,但陈述句“方程是含未知数的等式”可以作为性质命题,因为这个陈述句是可供判断的,也就是说,如果仅仅是作为一个数学命题、而不是作为数学定义,就不需要认真探讨其中所说的等式的具体含义到底是什么.

就陈述的形式而言,性质命题也可以分为两类:一类是肯定陈述,称为正命题;一类是否定陈述,称为否命题.这就意味着,通常所说的“逆命题”和“逆否命题”不能构成数学命题.进一步,人们通常用“否定之否定”等价“肯定”的逻辑,建立双重否定律26:否否命题等价于原命题,但对于数学命题,这也是不允许的.作为说明,看下面的例子.

原命题:数是可以比较大小的.
逆命题:可以比较大小的是数.
否命题:数是不可以比较大小的.
逆否命题:不可以比较大小的不是数.
否否命题:数不是不可以比较大小的.   (4)

之所以说“逆命题”和“逆否命题”不能构成数学命题,这是出于数学严谨性的要求.正如在解释(3)式所说的,数学命题的所指项必须清晰,现在,由于不能清晰地给出上述“逆命题”的所指项“可以比较大小”、以及“逆否命题”的所指项“不可以比较大小”的确切定义,因此这样的陈述句不能作为数学命题.进一步,对于思维过程而言,上述否否命题与原命题似乎是一致的,但对于数学命题的判断而言,这两者之间却有天壤之别:对于原命题的判断,要求定义了的、所有的数都是可以比较大小的;但对于否否命题的判断,只需要说明存在可以比较大小的数就可以了.因此,为了数学推理的一致性,否否命题不能成为数学命题.

事实上,“逆命题”、“逆否命题”或者“否否命题”的表述可以作为思想者正在思想的东西,可以表达思想者的思维过程,但这样的命题只具有“主观性”不具有“客观性”,无法进行数学判断,正如弗雷格所认为的那样27:主观意义在语义学中应不予以考虑,因为它不是交际信息来源.

这样,就严格限制了数学性质命题有且仅有两种陈述形式:正命题和否命题.因为对每一个数学命题都有“肯定”、“否定”两种判断形式,因此,就判断形式与陈述形式而言,数学性质命题只存在4种可能结果:正正、正否、否正、否否.其中,前面的“正”或者“否”表示命题的判断形式,后面的“正”或者“否”表示命题的陈述形式.

关系命题.就语言的表述形式而言,关系命题的主词中最少包含两个以上研究对象,因为这类命题的目的是为了阐述一些研究对象之间的关系,因此这一类数学命题通常不能表示为系词结构.比如前面讨论过的,希尔伯特以公理的形式表述了点与直线之间的关系:

对于两点AB,恒有一直线a,它同AB这两点的每一点相关联.对于两点AB,至多有一直线,它同AB这两点的每一点相关联.

上面两句话形成了一条公理,这就是数学上通常所说的基本事实:两点确定一条直线.显然,这个基本事实是涉及关系的数学命题:明晰了“点”与“直线”之间的关系.与性质命题不同,关系命题关注的不是研究对象本身,关注的是研究对象之间的关系,这就意味着,在公理体系中,数学家通过一系列的关系命题建立了研究对象之间的联系.

在一般情况下,这一类命题可以写成“如果…,那么…”或者“若…,则…”的形式,其中“如果”、“若”引导的话语是命题的“条件”,“那么”、“则”引导的话语是命题的“结论”.因此,关系命题通常可以分为“条件”与“结论”两个部分.关系命题更多地表现在数学定理的述说,比如,初中平面几何中的平行线判定定理:

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.   (5)

在这个命题中,背景是“两条直线被第三条直线所截”,条件是“同位角相等”,结论是“两条直线平行”.因为在关系命题中,无论条件还是结论都是陈述句,很难用集合之间的关系来表达命题的结构,但有一个关系结构是明确:通过“条件”得到“结论”,也就是说,“条件”对于“结论”是充分的.如果用Q表示条件述说,用P表述结论述说,关系命题的陈述模式可以表示为:

如果x→Q,那么x→P.   (6)

比较(3)式可以看到,关系命题是由两个、或者两个以上性质命题构成的,与性质命题有所不同的是,表述中的x不一定是单一的研究对象,可以是两个以上的研究对象.比如,平行线判定定理(5)式中的x是指两条直线.

关系命题与性质命题最大的差异在于“否命题”、“逆命题”等概念的表述.通过(6)式可以看到,如果从肯定述说“→”与否定述说“~”出发变化命题的形式,可以有两类、8种变化,其中一类是基于条件的,另一类是基于结论的.

基于条件
(Ⅰ) 如果x→Q,那么x→P.
(Ⅱ) 如果x→Q,那么x~P.
(Ⅲ) 如果x~Q,那么x→P.
(Ⅳ) 如果x~Q,那么x~P.
基于结论
(Ⅴ) 如果x→P,那么x→Q.
(Ⅵ) 如果x→P,那么x~Q.
(Ⅶ) 如果x~P,那么x→Q.
(Ⅷ) 如果x~P,那么x~Q.

利用前面所述平行线判定定理(5),来说明上面的8种形式:

背景:两条直线被第三条直线所截.
基于条件
(Ⅰ) 如果同位角相等,那么两条直线平行.
(Ⅱ) 如果同位角相等,那么两条直线不平行.
(Ⅲ) 如果同位角不相等,那么两条直线平行.
(Ⅳ) 如果同位角不相等,那么两条直线不平行.
基于结论
(Ⅴ) 如果两条直线平行,那么同位角相等.
(Ⅵ) 如果两条直线平行,那么同位角不相等.
(Ⅶ) 如果两条直线不平行,那么同位角相等.
(Ⅷ) 如果两条直线不平行,那么同位角不相等.

可以看到,上述8种形式都可以构成关系命题.对于关系命题,只需要判定“条件”与“结论”之间的关系.建立关系判断原则:以“条件”推断“结论”是充分关系;以“结论”推断“条件”是必要关系.那么,对于命题之间的联系,只需要关心“充分必要”关系.可以把上面8种形式分为两组,每组包括4种形式:(Ⅰ)(Ⅳ)(Ⅴ)(Ⅷ)和(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅵ)(Ⅶ),这样,“充分必要”关系只存在于每组的形式之间.


3数学的推理

人们普遍认为,数学的推理是一种有逻辑的推理.现在,基于数学命题(包括命题中的数学定义)尝试性地讨论什么样的推理过程、或者说什么样的思维过程是有逻辑的.再一次说明,这样的尝试是必要的,这不仅仅是为了逻辑学发展的需要,更重要的是为了让数学学习者、一线的数学教师在一般层面上理解和把握数学推理,进而理解和把握“逻辑推理”这个数学核心素养.先回顾笛卡尔在讨论如何进行科学推理时所提出的建议,他在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说28

要从错综复杂的事物中区别出最简单事物,然后进行有秩序的研究.这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中,观察哪一个事物是最简单项,以及观察这个项与其它项之间关系的远近,或者相等.

这里采纳笛卡尔的建议,认定性质命题为最简单项,认定不超过3个性质命题的推理为简单推理.为了更清晰地述说逻辑推理的思维脉络,只讨论基于简单推理的逻辑性.事实上,所有的推理过程都可以分解为若干个简单推理,就像一棵大树那样可以分解为许多枝杈,因此通过简单推理逻辑性的分析可以窥视一般.为了讨论问题的方便,把3个命题依次称为前提命题、中间命题和结论命题.为了便于说明,分析下面两组具体的简单推理过程:

第一组
因为a=bb=c,所以a=c
所有的实数都可以比较大小,3和5是实数,所以3和5可以比较大小.
至今的计算结果表明,每一个偶数都是两个素数之和,推断所有偶数都可以表示为两个素数之和.

第二组
因为a=bc=d,所以a=d
所有的实数都可以比较大小,大小是一种关系,所以实数是一种关系.
至今的计算结果表明,每一个偶数都是两个素数之和,推断所有偶数都可以表示为两个素数之差.

对于上述推理,凭借直觉认为:第一组的3个推理都是有逻辑的,虽然其中第三个推理的结论还只是一种猜想(哥德巴赫猜想),但依然会认为得到这个猜想的推理是有逻辑的;第二组的3个推理都是没有逻辑的,虽然其中的推理也是一环扣一环,但隐隐约约地感觉到有什么地方不对劲.那么应当如何给出一个准则,通过这个准则来判断推理的逻辑性呢?进一步,又应当如何在形式上表述推理的逻辑性呢?

逻辑推理.凭借直觉,会感觉到上述第一组中的简单推理前后连贯,也就是说,从头至尾论述的是一件事情.对前后连贯的简单推理可以抽象出两个显著特征:一个特征是前提命题的所指项、或者、所指项的等价物始终出现在3个命题之中29;另一个特征是结论命题所表述的性质与前提命题所表述的性质是一致的.比如:在第一个推理中“c”是“b”的等价物;在第二个推理中“3和5”是“实数”的等价物;在第三个推理中“所有偶数”是“经过计算偶数”的等价物.而第二组中的3个推理,虽然从形式上看推理过程是一环扣一环的,但每个推理不是缺少第一个特征就是缺少第二个特征.

现在问题已经非常明显,逻辑推理的本质在于命题的前后连贯,形象地说,就是有一条主线能够把这些命题串联起来.称上述两个特征为简单推理的传递性,称具有这样特征的简单推理为具有传递性的推理.这样,借助传递性可以给出逻辑推理的定义:

一个简单推理是逻辑推理当且仅当这个简单推理具有传递性.

这就是说,对于简单推理而言,有逻辑的推理与具有传递性的推理是等价的.现在,需要确切地表述什么是推理过程的传递性,尝试用数学的语言和符号予以表达.对于推理过程的传递性可以分为关系传递性和性质传递性两种形式.

关系传递.A是一个集合,≈是集合上的二元关系.称这个关系对于集合具有传递性,对于集合中的元素abc,如果abbc,则ac.令⊙是集合A上的一种运算.称这个关系对于运算具有传递性,如果ab,则acbc

第一类性质传递.A是一个集合,P是一个性质.AP,如果xA,则xP.   (7)
第二类性质传递.分下面两种情况30
(Ⅰ) 令A是一个集合,P是一个性质.xP,如果xA,则AP.   (8)
(Ⅱ) 令AB是两个集合,Q是一个属性,P是一个性质.
AB中的元素都具有属性Q,如果AP,则BP.    (9)

将上面的表达作为数学推理的定义,或者说,作为数学推理(逻辑推理)的公理.因为在关系传递性的推理中,所论及的满足关系或者运算的研究对象(包括等价物)的范围是不变的,因此,通过这样推理得到的结论是必然正确的;在第一类性质传递性推理中,所论及的满足性质的研究对象(包括等价物)的范围是从大到小的、是具有包含关系的,因此,通过这样推理得到的结论必然是正确的.称具有关系传递性或者具有第一类性质传递性的推理为演绎推理,也就是人们通常所说的,从一般到特殊的推理.对于实数集合,等号和不等号都具有关系传递性,并且四则运算和极限运算也都具有关系传递性,因此通常进行的数学运算属于演绎推理的范畴,得到的结论是必然正确的.

与演绎推理恰恰相反,第二类性质传递推理所论及的满足性质的研究对象(包括等价物)的范围是从小到大的、是具有被包含关系的;在思维形式上,是通过经验过的东西推断未曾经验的东西,也就是人们通常所说的,从特殊到一般的推理.因此,通过这样推理得到的结果是或然正确的,称这样的推理为归纳推理.为了尊重传统习惯,更是为了有利于数学教育,把第二类性质传递推理分为两种情况:称其中的(Ⅰ)为归纳,(Ⅱ)为类比.

这样,基于简单推理的逻辑推理、或者说、基于简单推理的数学推理只有两种形式,这就是《普通高中数学课程标准》述说“逻辑推理”时所说的两类,一类是演绎推理,一类是归纳推理.

现在,已经明晰了什么样的推理是有逻辑的,进而明晰了数学推理思维过程的本质和模式是什么.但是,对于数学的发展,除了要明晰数学的研究对象和推理形式之外,还需要明确判断命题正确与否的思维基础是什么、也就是、要明确数学推理的思维基础是什么.这是一个非常难以回答的问题,随着逻辑学研究的深入,现代学者给出了种类繁多的逻辑形式,不仅使人无法记忆,甚至使人无法判断这些逻辑形式本身的合理性.为此,还是遵循形式逻辑中3个最古老的定律,并把这3个定律批判性地应用于数学推理.这3个定律就是:数学同一律,数学矛盾律和数学排中律.

数学同一律.同一律是指一个事物与自身同一,表示为a=a.在数学论证过程中,基于同一律的原则,一个定义或者一个命题不能同时是自身又是别的,也就是,在论证过程中不能随意变换概念.但在现实世界中,事物总是相对的,事物也总是变化的,如果在历史发展的长河中认识问题,同一律就显得僵化了,正如恩格斯所批评的那样31

旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则:a=a.每一个事物和它自身同一.一切都是永久不变的,太阳系、星体、有机体都是如此.这个命题在每一个场合下都被自然科学一点一点驳倒了,但是在理论中它还继续存在着,而旧事物的拥护者仍然用它来抵抗新事物:一个事物不能同时是它又是别的.…… 抽象的同一性,与形而上学的一切范畴一样,对日常应用来说是足够的,在这里所考察的只是很小的范围或很短的时间.

在上面的论述中,恩格斯强调一切事物都不是永恒不变的,要学会辨证地分析问题.恩格斯的说法是有道理的,比如几何学,最初人们认为欧几里得几何是永恒不变的真理,包括“过直线外一点能作并且只能作一条平行线”这个公理也是唯一正确的.但是,人们后来发现也可以建立一个有无数条平行线的几何学,这便是罗巴切夫斯基几何;人们后来还发现还可以建立一个没有平行线的几何学,这便是黎曼几何.特别是,这3种几何学都有着明确的现实背景32,这3种几何学表述的都是真理,只是问题涉及的背景不同.即便如此,在一般情况下,讨论的数学问题的范围和时间都是有限的,因此,数学的论证可以并且必须使用同一律.为了数学的严谨性,对于同一律作如下修改:

数学同一律.如果一个集合A是确定的,那么,可以确切判断一个元素x是否属于集合A,在论证过程中这个关系保持不变.

可以看到,数学的同一律是给出实质定义、以及表述推理过程传递性的基础.从表面看,现代数学的某些研究领域的研究似乎不符合这个要求,但在本质上却是一致的.比如,在模糊数学中,虽然一个元素是否属于一个集合可以是模糊的,但这个元素是否属于这个集合依赖于取值[0, 1]闭区间上的示性函数,这个示性函数本身是清晰的、是符合数学同一律的.再比如,在概率与数理统计论中,虽然随机变量的取值可以是不确定的,但取值的概率本身是不变的、是符合数学同一律的.

矛盾律.无论是在数学中、还是在现实生活中,矛盾律都是论证的基本原则.矛盾律述说了这样一个事实:一个命题Φ不能同时为真又为假.如果用Φc表示否命题,这个定律意味着:Φ与Φc不能同时成立.现有资料表明,矛盾律最初是亚里士多德提出的,他在《形而上学》中写道33

但我们明确主张,事物不可能同时存在又不存在,由此我们证明了它是所有原本中最为确实的.有些人由于学养不足认为需要对此加以证明,但是他们不知道哪些应当证明哪些不应当证明,这正是学养不足的表现.

于是,人们遵循亚里士多德的建议,把矛盾律作为不证自明的推理原则.众所周之,汉语中的“矛盾”一词出自古代中国春秋战国时期的一个寓言34.矛盾律的基本原则与人们的生活常识是一致的,就像古代中国那个寓言所述说的那样.用数学符号表示矛盾律:

数学矛盾律.如果Φ是一个数学命题,那么,Φ和Φc不能同时成立.也就是说,如果用P表示命题中的性质,那么,不存在集合A,使得aAaPaP同时成立.

矛盾律对数学推理非常重要,在下面的讨论中将会看到,矛盾律这个原则是反证法、数学归纳法的依据,没有这个原则数学推理将寸步难行.

排中律.排中律也是数学论证的基本定律:一个命题Φ不是真就是假,即:Φ与Φc必有一个成立.这个原则的要求非常严格,以至于在日常生活中排中律不一定是合适的.事实上,对于中国的传统文化而言,就很难接受“非此即彼”的思维模式,比如,很难接受非“福”即“祸”、非“强”即“弱”这样的二分法.排中律也是亚里士多德在《形而上学》中提出的,他提出的时候就犹豫不决35

在对立的陈述之间不允许有任何的居间者,对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面.……如果不是为理论而理论的话,在所有对立物之间,应当存在居间者,故一个人可能既以其为真又以其为不真.在存在与不存在之外它也将存在,因此,在生成和消灭之外有另外某种变化.

现在,已经认定数学是为了理论而理论的一种学问,因此,正如亚里士多德所说,数学还是需要排中律的.用数学符号表示排中律:

数学排中律.如果Φ是一个数学命题,那么,Φ和Φc必然有一个成立.也就是说,如果用P表示命题中的性质,那么,必然存在一个集合A,使得aAaP或者aP

在此需要强调,对于统计学中的许多问题,不能直接套用数学排中律.比如:在估计问题中,一个估计量往往会满足这样的条件:随着样本量的增加,这个估计量将以较大的概率收敛到真值,但并不意味着这个估计量要么就收敛到真值、要么就不收敛到真值;在检验问题中,一个检验统计量否定了原假设,并不意味就必须接受对立假设.

现在,终于可以讨论最为本质的问题了,这个问题就是:在日常数学教学中,通常使用的得到或者验证数学命题的推理方法是否有逻辑呢?或者说,仅仅基于上述3个基本原则,是否能够验证通常使用的数学证明方法本身具有所定义的逻辑性呢?


4演绎推理:验证数学结论的方法

验证数学结论也会用到归纳推理,但主要是演绎推理.在日常数学教学过程中,经常会使用到消元法、换元法、递归法等,可以看到,这些方法均属于关系传递的范畴,因此这样的推理方法是有逻辑的.有时,也会用到完全归纳法,这是第二类性质传递(Ⅰ)的一个特例:集合A包含的元素的个数是有限的,如果验证了每一个元素xP,则推断AP.因为论证所论及的满足性质的研究对象(包括等价物)的范围是不变的,因此完全归纳法属于演绎推理.

下面,基于数学命题,论述亚里士多德所倡导的三段论,三段论的方法在数学论证过程中是屡见不鲜的.三段论的学说在中世纪的欧洲是至高无上的,在今天的形式逻辑学中仍然保持重要地位.亚里士多德在《工具论·前分析篇》中说36

我们之所以要在讨论证明前先讨论三段论,是因为三段论更加普遍些.证明是一种三段论,但并非一切三段论都是证明.

事实上,亚里士多德对证明的认识是不全面的,因为三段论不能包含所有的证明形式.比如,三段论不能包含“a大于bb大于c,则a大于c”这样的递推关系,即三段论不能包含所说的具有关系传递性的推理.篇幅有限,这里只讨论经典三段论.读者可以尝试论证复合三段论、假言三段论等推理模式的逻辑性,经历这样的尝试能够更加深刻地理解什么样的推理是有逻辑的.

经典三段论.经典三段论是一个包括大前提、小前提和结论3个部分的论证形式,因为推理过程涉及到3个性质命题,因此属于简单推理.通过下面的讨论可以看到,三段论保持了逻辑推理的特征:前提命题的所指项、或者所指项的等价物始终出现在这些命题之中;结论命题与前提命题所述说的性质是一致的.经典三段论有不同的类型,亚里士多德称之为格,最初亚里士多德定义了3种格,后来经院学者又增加了第四格.现在人们已经证明,后3种格都可以归结为第一格37.第一格分为4种型,现逐一讨论这4种形式的三段论与逻辑推理的关系.

全称肯定型.全称肯定型的专业术语是AAA型38.亚里士多德给出的例子是:

凡人都有死,苏格拉底是人,所以苏格拉底有死.

A表示所有人的集合,用x表示苏格拉底,用P表示死,则上面的推理形式可以写为

AP,如果xA,则xP

这个形式与(7)所述第一类性质传递完全一致,因此属于演绎推理.从上面的语言论述过程可以看到,这种形式推理得到结论的正确性是不言而喻的,甚至可以认为这个形式的推理是多此一举:所有人都会死,苏格拉底这个具体的人当然也会死,并且,要验证所有人都会死比验证苏格拉底这个具体的人会死还要困难得多.但是,这样的论证形式在数学证明中却是非常重要的.

在上述三段论中,结论反而不是最重要的,关键在于验证前两条APxA是否成立,第一条通常是一个已知事实,比如公理、假设、或者已经证明了的定理,因此数学证明的重点往往是验证第二条、即验证中间命题是否成立.比如,在平面几何中,证明四点共圆的问题是比较困难的,但证明的思路却是简单的:

对角和为180°的四边形的4个顶点共圆,如果能够证明这个四边形有一组对角和为180°,那么这个四边形的4个顶点共圆.

在这个证明的过程中,最困难的地方是验证中间命题的成立,即证明“这个四边形有一组对角和为180°”是否成立.下面,通过两种省略形式进一步分析中间命题项的重要性.

省略大前提.人们往往认为大前提是人所共知的,所以可以省略.这样的推理形式在日常生活中或许是可以的,但在数学的证明过程中却一定要慎重使用,比如下面的例子:

矩阵的乘法是乘法,所以矩阵的乘法满足是交换律.

这个结论是不正确的,问题出在哪里呢?问题就在于省略的大前提、即省略了“乘法满足交换律”这个前提命题.按照约定,性质命题中所指项的定义必须清晰,在这里前提命题中所说的乘法是指四则运算中的乘法,而不是一般泛指包括矩阵乘法在内的乘法.

省略小前提.关于省略小前提的例子:

凡数都可以比较大小,所以复数可以比较大小.

这个结论也是不对的,推理的错误在于省略了小前提,即省略了“复数是数”这个中间命题.因为在通常意义上,数是基于自然数的,自然数是基于皮亚诺自然数公理体系的;在公理体系中自然数是通过后继的概念得到的,因此自然数可以比较大小.有理数是通过四则运算,是由自然数扩张得到的;实数是通过极限运算,是由有理数扩张得到的.因为四则运算和极限运算都具有传递性,因此扩张了的数不改变“可以比较大小”这个性质.而复数是通过解方程得到的,这样的运算不具有传递性,因此不能传递“可以比较大小”这个性质.

全称否定型.专业术语为EAE型39.亚里士多德给出的例子是:

没有一条鱼是有理性的,所有的鲨鱼都是鱼,所以没有一条鲨鱼是有理性的.

A表示所有的鱼,用x表示鲨鱼,用P表示理性.那么AP是大前提(前提命题),xA是小前提(中间命题),xP是结论(结论命题).如果用Φ表示命题“AP”,那么大前提意味否命题Φc成立;用Ψ表示命题“xP”,那么小前提意味否命题Ψc成立.根据矛盾律和排中律,由第一类性质传递(7)可以得到

AP,如果xA,则xP

即上式的推理形式在本质上与全称肯定型是一样的,这种推理得到的结论也是必然正确的.下面,给出一个数学的例子:

有理数系数方程的根不可能是π,所有整数是有理数,所以整数系数方程的根不可能是π

与全称肯定型比较,有一个问题是应当注意的,那就是在全称肯定型中的小前提所关注的事物往往是一个元素,而全称否定型中的小前提的事物可以是一个子集合.比如,所有整数是一个集合,是有理数集合的子集合.三段论第一格的后两种形式是基于特称的,一并讨论如下.

特称肯定型.专业术语为AII型40.亚里士多德给出的例子是:

凡人都有理性,有些动物是人,所以有些动物是有理性的.

特称否定型.专业术语为EIO型41.亚里士多德给出的例子是:

没有一个希腊人是黑色的,有些人是希腊人,所以有些人不是黑色的.

与全称型不同,特称型的推断中使用了“有些”这样的词语,因此这样的推断与全称型有本质的不同:全称型的小前提是在集合A的内部;特称型的小前提是在集合A的外部.比如,对于上面两类特称型,“动物”是在“人”这个集合的外部,“人”是在“希腊人”这个集合的外部,所以在结论中必须用“有些”这样的限制词.特称肯定型和特称否定型可以分别用符号描述为:

AP,如果AB,则A∩B→P.

AP,如果AB,则ABP

其中符号AB表示集合AB的交集合,即集合AB的共同部分.显然,如果AB,那么必然有AB=A.因此,就推理的形式而言,这样的推理一点意义也没有;就推理的实质而言,这样的推理对论述中的特称换了称谓:把人换成了有些动物;把希腊人换成了有些人.

就数学推理而言,如果是为了得到肯定结论,这种论证是没有用处的,因为对于数学的推理,结论在“有些”情况下成立是没有意义的,比如,“有些偶数可以表示为两个素数之和”这样的命题是没有意义的.但是,为了得到否定的结论,这样的论证形式却是强有力的,因为对于科学而言,为了驳倒结论只需要举出一个反例就可以了.比如,关于“不能三等分角”的问题,虽然通常只讨论60°角这个特殊情况42,但基于这种情况可以得到下面的推论:

60°角是不能三等分的,有些角是60°角,所以有些角是不能三等分的.

进而得到一般的结论:三等分角是不可能的.虽然在上述三段论的大前提中,涉及的只是一个元素、而不是更为一般的集合,但在论证过程中以这种形式举反例是强有力的.

下面,讨论数学证明过程中两个经常使用的方法,一个是反证法,一个是数学归纳法.这里将给出这两种方法的推理模式,并且论证为什么这样的推理是有逻辑的.

反证法.反证法是一种演绎推理的方法,下面通过两个具体的例子来论证这个问题,这两个例子都是最经典的数学证明.第一个例子是欧几里得给出的,用反证法证明了素数有无数多个;第二个例子据说也是欧几里得给出的,用反证法证明是一个无理数.

命题一  素数是无数多个.
证明:先假设否命题成立:素数不是无数多个.即素数是有限多个.那么,可以假设有n个素数,表示为:p1, ..., pn.令p为这n个素数的乘积再加1,即p=p1 ... pn+1,这是一个自然数.因为p不能被上述n个素数中的任何一个整除,那么p也应当是一个素数,并且与上述n个素数不同.这样至少有n+1个素数.这样素数有n个、又有n+1个,根据矛盾律这是不可能的,因此假设不成立.根据排中律,假设的否命题成立,即有无数多个素数.
命题二  是无理数.
证明:先假设不是无理数.那么,就是有理数.根据有理数的定义,能够表示为两个整数的比,比如=a/b,其中ab为整数,不失一般性假定ab没有公因数.
可以得到a2=2b2,于是a2为偶数.因为只有偶数的平方才能为偶数,所以a为偶数.因为ab没有公因数,a为偶数b必为奇数.因为a为偶数,可设a=2c,其中c为整数.则a2=4c2,于是有4c2=2b2或者2c2=b2,则b2为偶数即b为偶数.这样b是奇数、又是偶数.根据矛盾律这是不可能的,因此假设不成立.根据排中律,假设的否命题成立,是无理数.

通过上面的例子可以分析反证法的论证过程:为了证明命题Φ成立,先假设否命题Φc成立;然后在否命题Φc成立的条件下,得到一个矛盾的结果;根据矛盾律,否定否命题成立;最后根据排中律就证明了命题Φ成立.因为已经在前面认定,矛盾律和排中律是数学论证的基础,是对于所有数学推理成立的一般性前提,因此通过第一类性质传递论证了反证法,这样的推理是有逻辑的.这样就论证了:通过反证法推理得到的结论必然正确.

数学归纳法.虽然数学归纳法是一种验证部分元素得到整体结论的论证方法,似乎应当属于归纳推理,但不同的是:集合中的元素是“有序”的,验证的程序也是“有序”进行的.数学归纳法有多种变化形式,比如:跳步数学归纳法、辗转数学归纳法、倒序数学归纳法等等,但“有序”这个本质是不变的.因为篇幅有限,这里只讨论常用的数学归纳法43

假设集合A是从1开始的自然数集合,集合上的“序”是自然数的大小关系,假设命题P可以构成与“序”有关的命题.数学归纳法的推理过程是这样的:

验证基于序的命题P(1),P(2),…,P(n),…
(1)验证命题P(1).如果成立,
(2)假设命题P(k)成立,验证命题P(k+1).如果成立,
(3)所有命题成立.

下面,论证基于数学归纳法的论证方法是有逻辑的,得到的结论是必然正确的.

用反证法.假定“所有命题成立”这个结论不正确.那么,必然存在一些自然数,使相应的有序命题不成立.令m是使得有序命题P(m)不成立的最小自然数.因为验证了P(1)成立,所以m≥2,即m-1是一个大于等于1的自然数.因为m是有序命题不成立的最小的自然数,那么有序命题P(m-1)成立.这与数学归纳法的(2)所示程序矛盾,因此假定不成立.根据反证法,所有命题成立.

因为已经论证了反证法的正确性,因此可以用反证法论证数学归纳法,通过上面的论证可以知道数学归纳法的推理是有逻辑的,得到的结论必然正确.为了数学推理分类的清晰,现在约定,基于3个基本定律,如果某一种推理方法的正确性能够被关系传递或者第一类性质传递性予以论证,那么这种推理方法就属于演绎推理.这样,反证法和数学归纳法都属于演绎推理.

现在,已经论证了常用数学证明方法是有逻辑的,得到的结论必然正确.这样,可以在数学教学和研究过程中放心大胆地使用这些方法;反之,如果对一个数学命题的验证过程中,验证方法本身不具有传递性,就要怀疑这样的论证方法本身是否正确.

对于数学命题的验证而言,前提和结论都是已知的,因此基于数学命题验证的数学教学,可以在验证过程中培养学生关于证明的逻辑思维能力,通过上面的讨论可以知道,更多地是培养学生关于演绎推理的能力.那么,就逻辑推理而言,还缺少什么呢?缺少从条件预测结果的能力,也缺少从结果探究原因的能力,一言蔽之,缺少创造力的培养.为此,回顾美籍匈牙利数学教育家波利亚的论述44

一位名副其实的科学家应致力于从已知的经验中引出最正确的信念来,并为了建立关于某个问题的正确信念而积累最正确的经验.科学家处理经验的方法,通常称为归纳法.

在这里,波利亚强调归纳推理能力的培养需要积累经验,事实上,正如前面所讨论的,演绎推理能力的培养也需要经验的积累,因此,在数学教学活动中一定要注重“四基”的培养,特别是要帮助学生感悟数学的思想、逐渐积累数学思维的经验.基于“四基”的教学是这样,未来基于“数学核心素养”的教学也将是这样,将在文章的最后部分讨论这个问题.


5归纳推理(Ⅰ):基于一个集合得到数学结论的方法

毋庸置疑,得到数学结论也依赖演绎推理,但主要是归纳推理.通过第二类性质传递的表述方式可以知道,归纳推理是按照规则进行的、前提与结论之间具有传递性的推理,因此是有逻辑的推理.大概可以做这样的划分:对于推理的前提而言,演绎推理是基于“理念”的推理,归纳推理是基于“事实”的推理;对于推理的结论而言,演绎推理是为了验证的推理,归纳推理是为了推断的推理.把这两种推理结合起来,就得到了数学推理的全部过程,这就是:通过归纳推理得到数学命题,通过演绎推理验证数学命题.因为这两种推理都具有逻辑性,这就保证了数学的严谨性.

分两节讨论归纳推理,这一节讨论第二类性质传递(Ⅰ),即由(8)式表述的归纳,下一节讨论第二类性质传递(Ⅱ),即由(9)式表述的类比.从(8)式和(9)式表述的差异可以看到,归纳是基于一个集合的推断,类比是基于两个集合的推断.

归纳的基础是得到集合.在分析演绎推理(7)式时曾经强调,数学证明的关键往往在于判断中间命题、即xA这个命题是否成立,对于归纳推理(8)式也是如此.不同的是:对于演绎推理集合A是已知的;对于归纳推理,集合A可能是已知的,也可能是未知的.

如果集合A是未知的,推理就需要从构建集合开始.由(8)式表述形式可以知道,构建集合的过程大体是这样的:从研究对象x和性质P出发得到一个共性,通过联想形成一个类;然后比较类中事物的差异,通过消减某些元素、或者、通过进一步划分得到一个集合.考虑一个几何学的例子,如果看到一个由若干个线段首尾相接形成的图形,就联想到了多边形,其中边的多少就构成了多边形这个属的属性,然后根据这个属性构建集合:把有3条边的归为一个集合,称为三角形;把有4条边的归为一个集合,称为四边形.

因此,类就是具有某种属性的事物所构成的群体.对于归纳推理,类是思维的对象、也是思维的基础,能否构建合适的类,直接影响思维的有效性.古代中国哲学非常重视分类,群经之首《周易》就是这样的一本著作:把世间的事情分为64个类,每一类通过6个爻的变化构建认识事物的模型45.甚至可以认为:古希腊哲学强调特殊与一般之间的关系,古代中国哲学强调类与类之间的关系;进而,古希腊哲学重视演绎推理,古代中国哲学重视归纳推理46

类对于归纳的功效,如英国哲学家穆勒在《逻辑学体系》中谈到的那样47

出于研究的目的,可以把归纳定义为对发现和验证一般命题的过程.如上文所述,通过间接地判明个别事例而对那一类事例建立普遍原理,便是确切的归纳.

按照穆勒的述说,在进行归纳之前必须有思维的对象,这就是类.所谓归纳,就是由这个类中个别事物满足的性质推断这个类中所有事物都满足这个性质.现在,假定已经确立了一个类、或者更确切地说、已经确立了一个集合,下面将基于集合讨论归纳的思维逻辑.

因为归纳是从个别情况推断一般情况,因此得到的结论是或然成立的.不仅如此,就归纳推理得到的命题结论本身还需要划分两种情况:第一种情况,虽然命题成立与否是或然的,但命题结论的述说本身是肯定的,比如哥德巴赫猜想,命题结论“一个大的偶数可以表示为两个素数之和”是肯定的,称这样的情况为“结论可能是必然的归纳”;第二种情况,不仅命题成立与否是或然的,命题结论的述说本身也是或然的,比如天气预报,命题结论“今天下雨的概率80%”是或然的,因为概率是对事件发生可能性大小的度量,称这样的情况为“结论已知是或然的归纳”.分别讨论这两种情况.

结论可能是必然的归纳.数学家、特别是研究纯粹数学的数学家更关心这样的归纳推理.前面引用了波利亚归纳的述说,那些述说显然是受到了瑞士数学家欧拉的影响,因为波利亚在《数学与猜想》这本书的开篇就大段的引用了欧拉的有关述说,摘录其中一部分:

今天人们知道的数学的性质,几乎都是由观察发现的,早在严格论证其真实性之前就被发现了.甚至到现在,还有许多关于数的性质是我们熟悉而不能证明的,只是通过观察使我们知道这些性质……人类知识就是通常所说的用归纳获得的.然而,我们已经看到过单纯的归纳曾导致的错误,因此,我们不要轻易的把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的一些性质信以为真.我们应当把这样的发现当做一种机会,然后精确的研究那些发现,证明或者推翻,在这两种情况中我们都会学到一些有用的东西.

欧拉的这段话说得非常有道理,事实上,归纳确实更多地用在关于数或者代数的推理,在下一节将会讨论,类比则更多地用在图形或者几何的推理.众所周知,数论中几乎所有的命题都是通过归纳得到的,其中最为典型的例子就是哥德巴赫猜想.那么,归纳的思维模式是怎样的呢?

为了与演绎推理的思维模型进行比较,把前面曾经论及的、亚里士多德论述三段论的经典语句改为归纳的推理模式:

苏格拉底是人,苏格拉底有死.柏拉图是人,柏拉图有死.亚里士多德是人,亚里士多德有死.
因此,凡人都有死.

仔细比较上面的推理和亚里士多德原来的推理,大家会恍然大悟,上面的推理模式比亚里士多德原来的推理模式更为自然.事实也是如此,现有的资料表明,除了地中海沿岸的古希腊文明之外,无论是尼罗河流域的古埃及文明、两河流域的古巴比伦文明、印度河流域的古印度文明、还是黄河长江流域的古代中国文明,都没有孕育出演绎推理的思维模式.虽然归纳的推理形式更为自然,但是,这样推理得到的结论却不一定是正确的,比如:

苏格拉底不到80岁有死.柏拉图不到80岁有死.亚里士多德是不到80岁有死.
因此,凡人不到80岁都有死.

这个结论就不正确.通过(8)式的表述可以知道,如果验证集合A中的元素越多,那么得到的结论就越可靠.比如,虽然哥德巴赫猜想还没有最后证明,但人们利用计算机验证的偶数越来越大,所有结果均表明结论是正确的,因此人们对猜想正确的信心越来越足.

前面曾经讨论数学归纳法的正确性,但更重要的问题是如何得到基于“序”的命题序列,这就需要借助归纳的推理方法.作为一个实例,讨论如何通过归纳得到自然数平方、立方前n项和公式.用A(n)、B(n)、C(n)分别表示自然数、自然数平方、自然数立方的前n项和公式.假如已经知道自然数前n项的公式

A(n)=n(n+1)/2,

把这个公式作为出发点,尝试推出其它两个公式.首先,从较小的n出发进行数值计算,从中摸索出规律性的东西,然后用数学语言或者符号表达规律,最后得到基于“序”的命题序列.令n从1到6:

由上面的数值计算容易看到:对于每一个nC(n)恰好为A(n)的平方;于是可以推测:

C(n)=[A(n)]2=n2(n+1)2/4.

上面的公式也说明了C(n)与A(n)的比值为A(n),受这个比值的启发,为了得到B(n)的公式,可以数值计算B(n)与A(n)的比值:

由数值计算结果可以推测:B(n)/A(n)=(2n+1)/3;于是就可以得到公式:

B(n)=n(n+1)(2n+1)/6.

这样,就通过归纳得到了自然数平方、立方的前n项和的计算公式.当然,这种通过经验得到的公式还只是一种推测,公式的最终确立还是需要演绎证明.

上面的实例说明,通过归纳“看出”结论比通过演绎“证明”结论还要困难,这样的推理需要更多的想象力,当然,这样的推理也更为重要,因为这是创新所需要的.

结论已知是或然的归纳.在日常生活和生产实践中,大量的事物往往是不确定的:或者发生、或者不发生;或者以这样的程度发生、或者以那样的程度发生.因此,这类事物结果本身是或然的、而不是必然性的.这里依然基于(8)式所表述的归纳的推理模式对这样的问题进行推断.

推断的思维方式与传统数学不同:虽然不知道某一个特定的结果是否必然发生,但可以估计结果发生可能性的大小;虽然不能确定事物之间的必然关系,但可以推断事物之间的相关关系;虽然不知道事物发展的必然规律,但可以构建事物发展的随机规律.比如,虽然知道开车可能会出现交通事故,但人们依然买车,因为相信自己遇上交通事故的概率很小;反之,如果某地正在发生骚乱或者战争,人们就不会去那个地方旅游,因为相信被伤害的概率较大.因此,对于这样一类问题,关键并不在于某个结果是否会发生,而在于这个结果发生的概率.那么,对于随机问题如何进行有逻辑的推理呢?

仍然用A表示集合、x表示集合中的元素,用P表示一个性质或者一个结果,从(8)式出发构建下面的推理准则.

随机选取x1A,验证x1P或者x1P
随机选取x2A,验证x2P或者x2P
……
随机选取xnA,验证xnP或者xnP
如果有m个元素xP,推断
任意aAaP的可能性的大小为m/n.(10)

凭借直觉,可以认为上述的推断方法是可行的.上述推断过程是(8)式的简单变形,因此这样的推断、或者说、这样的推理是有逻辑的.称这样的推断为统计推断,称比值m/n为频率,可以用频率估计概率.那么,这样的估计合理吗?为了说明估计的合理性,除却前面曾经强调的数学推理的3个基本原则之外,统计推断还需要遵循下面两个基本原则.

独立同分布原则.虽然一个随机事件发生的概率发生是未知的,但这个随机事件发生的概率本身是不变的,因此,只要有足够的信息就可以估计这个概率,获取信息的方法就是在给定的集合中随机抽取样本.

随机抽样是指每次抽取样本是独立进行的,比如,对有限集合抽样必须是有放回的.如果把随机变量的取值规律称为概率分布(简称分布)的话,随机抽样就是为了保证每次得到的样本对分布提供的信息都是一样的,也就是说,无论每次抽样得到的数据是什么都要等同对待.这就是独立同分布原则:每个样本是独立的、分布是相同的.

作为说明,分析误差模型.设μ为真值,x为观测值,ε为误差.误差模型为x=μ+ε,因为其中有两个量未知,无法推断真值,因此需要抽样.假如抽取了n个样本,得到x1=μ+ε1,……,xn=μ+εn

对等式的左边和右边分别求和,得到x1+…+xn=+ε1+…+εn

因为是随机误差,可以认为这些误差可能为正、也可能为负,和为0.通过运算可以得到真值的估计,这就是n个观测值的平均,称为样本均值.

可以看到,样本均值有着深刻的统计内涵.事实上,样本均值也有非常好的统计性质,高斯利用随机误差模型、从样本均值出发推导出随机误差的取值规律,这就是著名的正态分布48

最大似然原则.如果得到了独立同分布的样本,应当如何对样本取值规律进行估计呢?在一般情况下,根据数据产生的背景可以事先假设数据的取值规律,即假设随机变量的分布.分布必然包含未知参数,统计学的任务之一就是对未知参数进行估计49,也就是通过样本推断未知参数.虽然推断的方法可以是多样的,但二百多年统计学的发展表明,最大似然的原则是行之有效的,基于这个原则得到的参数估计称为最大似然估计.

f(x;θ)表示随机变量分布的密度函数,其中θ表示参数.如果进行了n次抽样,那么根据独立同分布原则,乘积的概率等于概率的乘积,可以得到样本的联合分布密度函数的对数形式

通常称为似然函数,其中xk是得到的样本.最大似然原则就是得到这样的估计,使得

其中Θ表示参数θ的取值范围.可以体会最大似然原则的思想,这就是相信,使得样本出现的概率达到最大的参数就是未知参数的真值.这类似德国哲学家黑格尔所说,存在的就是合理的.正态分布就是在误差模型的假设下、用最大似然原则得到的:样本均值是正态分布均值的最大似然估计.

下面,通过(10)式直观分析最大似然原则.构建一个最为简单的随机模型,一个随机变量X可能会有两个结果:发生,表示为1;不发生,表示为0.假设发生的概率为p,是未知参数.随机抽取n个样本xkk=1, ..., n,这些样本可能取1、也可能取0.令y=x1+…+xn,则y是取值于0与n之间的自然数.如果y=m,则意味在n次试验中随机事件发生的比例为m/n.通过对(11)式的计算可以知道,在上述模型下,m/n正是参数p的最大似然估计50


6归纳推理(Ⅱ):基于两个集合得到数学结论的方法

正如(9)式所表述的那样,类比是基于两个集合的推理51:“观察到两个或两类事物在许多属性上都相同.便推出它们在其它属性上也相同,这就是类比法.”为了数学推理的严谨性,要求:推理基础是集合而不是类;推理逻辑过程是两个集合中元素具有相同的属性,如果一个集合的元素具有某种性质推断另一个集合的元素也具有这个性质.由此可见,类比也是通过经验过的东西推断没有经验过的东西,因此在本质上,类比属于归纳推理的范畴,正如在前面论述过的那样.

与归纳一样,类比得到的结论也是或然成立的,并且,就得到的结论本身而言,也可以分为两种情况:一种情况是结论可能是必然的类比,另一种情况是结论已知是或然的类比.下面逐一讨论.

结论可能是必然的类比.如果说归纳更多地依赖于规律的发现,那么类比则更多地依赖于跳跃的联想.钱学森非常强调这样的联想,他曾经说52

科学上的创新光靠严密的逻辑思维不行,创新的思想往往开始于形象思维,从大跨度的联想中得到启迪,然后再用严密的逻辑加以验证.

如果说,归纳更多用于获取“数的性质”的结论,就像欧拉所说的那样;那么,或许可以说,类比则更多用于获取“图形性质”的结论.德国天文学家、数学家开普勒非常重视类比,他在著作《折光的测量》第四节《论圆锥截面》中说到53

其实,我们应当运用几何的类比方法.我珍视类比胜于任何别的东西,我这最可信赖的老师能揭示自然的所有奥秘.它在几何学中更应当得到重视,因为即使对于极不合理的逻辑的述说,类比方法仍然能够沟通两个极端情况中间的诸多情况,将事物的本质明晰地呈现在眼前.

开普勒的述说非常有道理.这是因为在日常生活中,人们遇到的物体形状都是三维的,只是为了研究的方便,才把三维的物体形状进行抽象,表现在二维平面上;反过来,人们又用二维平面上的研究成果推断三维物体形状的性质.

多维空间只能凭联想,因为根本没有关于多维空间的经验,联想的方法就是类比.比如,在一维空间通过数轴表示两个点,定义两点间的距离为两个坐标差的绝对值;在二维空间,用平面直角坐标系表示两个点,用勾股定理定义两点间的距离;类似地,在三维空间利用空间直角坐标系表示两个点,用推广了的勾股定理定义两点间距离.基于这样的经验,对于一般的n维空间,人们通过联想构建n维空间直角坐标系,并且把点与n维数组对应,得到一般化的勾股定理,进而定义距离.这种表示完全是形式化的,凭借的是联想,凭借的是类比.通过形式化的定义,人们可以一般性讨论那个看不见、摸不到的n维空间中的几何问题.

庞加莱猜想是类比的典范.在三维空间中,二维的闭曲面不仅有球面,还有自行车轮胎等其它形式的闭曲面.法国数学家庞加莱发现,球面上任意的闭曲线都可以不离开球面地逐渐收缩为一个点,称具有这样性质的闭曲面为单连通,但这个性质对于自行车轮胎那样的闭曲面不成立.庞加莱猜想,这个性质对于四维空间中的三维闭曲面也是成立的,也就是说,三维单连通闭流形必然与三维球面同胚,这显然是基于类比的推理.庞加莱1904年提出这个猜想,后来把这个猜想推广到任意n+1维空间的n维闭曲面.许多拓扑学家深入研究了这个问题,直到100年后的2003年,才由俄罗斯数学家佩雷尔曼最终完成了这个命题的证明.对于庞加莱猜想的证明过程,极大地推动了现代拓扑学的发展,引发出一些很有意义的拓扑学分支.通过这个推理过程可以看到,基于类比的推理是有逻辑的,虽然得到的结论不一定正确,但与归纳一样,这样的推理是创造的基本手段.

结论已知是或然的类比.在日常生活和生产实际中,人们在做一件事情之前,往往先在小范围内做一些尝试,从中汲取经验,然后考虑是否在大范围内推广.虽然不能保证“发生”过的事情必然再度发生,但人们相信小范围与大范围是类似的,事物的发生状况“八九不离十”.这种凭经验,由这一类事物发生的可能性推断另一类事物发生的可能性,这就是结果已知是或然的类比.为了研究的方便,可以把这样的思维过程归结为下面的模式:

集合AB中的元素都具有属性Q
集合A中的元素具有性质P的可能性为m/n
推断集合B中的元素具有性质P的可能性为m/n.   (12)

事实上,这种思维模式正是通常说的调查研究.比如,估计鱼塘中鱼的数量,因为不可能把鱼塘中的所有鱼都打捞出来清点,只有采用抽样调查的方法.先在鱼塘中打一网鱼,假如有n条,把这些鱼做上记号放回鱼塘;过一段时间后再打一网鱼,假如有M条,其中m条是有记号的.那么如何根据抽样调查的结果估计鱼塘中鱼的数量呢?下面分析这个问题.

假设鱼塘里有鱼N条,其中有记号的n条(即第一网鱼的数量);第二网打捞M条,其中有记号的m条.按照(12)的思想方法,大范围有记号鱼的比例应当基本等于小范围有记号鱼的比例,因此n/N=m/M,于是鱼塘中鱼的数量大约为54N=nM/m

这样的方法已经被用来解决许多实际问题,比如,野生动物的考察,生态资源的合理开发,等等.事实上,股票价格波动的推断也是如此.为了便于投资者更好地把握投资取向,金融服务机构编制出股票价格指数(股票指数),用以描述股票价格的变动情况.可是各类股票繁多、价格变幻莫测,如何才能给出简单明了而又相对客观的股票指数呢?这就要采用类比的方法,选出一些有代表性的企业,用这些企业的股票变化来代替整个股票交易市场的价格变化.道·琼斯指数是美国的股票价格指数,是历史最为悠久的股票指数.道·琼斯指数最初选用11种运输企业的股票,1897年起选用20种工业和运输企业的股票,以后代表性股票逐渐扩大到65种.

通过上面的两个例子可以知道,结论已知或然的类比的思维方法几乎无处不在,数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育应当让学生形成和发展这样的思维方法,那么,应当通过怎样的教学活动实现这样的目标呢?

通过上面的讨论,对数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育至少应当清晰两件事情:一件事情是,不能单纯让学生记住一些概念,掌握一些解题的技巧,形成和发展数学核心素养,特别是逻辑推理素养;还有一件事情是,学生逻辑推理素养的形成和发展,在本质上,不是靠教师“教”出来的,而是靠学生“悟”出来的.

虽然,为了数学的严谨性,现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化,但数学的教学过程却应当反其道而行之,给学生创造直观思维的机会,给学生的“悟”留有充分的时间和空间:虽然概念的表达是符号的,但对概念的认识应当是有具体背景的;虽然证明的过程是形式的,但对证明的理解应当是直观的;虽然逻辑的基础是基于公理的,但思维的过程应当是归纳的.为了实现这样的教学过程,就要求在数学教学活动中,教师要更多地关心学生的思维过程,抓住数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的问题,启发学生思考或者与他人进行有价值地讨论,让学生在掌握知识技能的同时,感悟数学的思想,积累数学思维的经验,形成和发展数学核心素养.这就是基于“四基”的数学教学,这也是未来将要提倡的基于“数学核心素养”的数学教学.


注:        

1.参见《先秦名学史》,胡适著,合肥:安徽教育出版社,1999年(原著出版于1922年),118-120;《中国哲学简史》,冯友兰著,北京:北京大学出版社,1996年(原著出版于1948年),105-107;《形式逻辑》,金岳霖著,北京:人民出版社,2005年(原著出版于1979年),347-350;《墨子选注》,李渔叔著,台北:正中书局,1977年,230-231.
2.因为在这里研究对象的定义是举例说明的,因此这里的定义不涉及研究对象的实质.
3.参见《形式逻辑》,金岳霖著,北京:人民出版社,2005年(1979版),41-42;也参见《形式逻辑原理》,诸葛殷同等著,北京:社会科学文献出版社,2007年,41.
4.参见《探索的思想——哲学的故事》,杜兰特著,朱安等译,北京:文化艺术出版社,1991年,22.
5.参见《逻辑学导轮·第11版》,柯匹 科恩著,张建军 潘天群译,北京:中国人民大学出版社,2007年,117-149.
6.原文为“天下无指,物无可以为物”,其中的“指”就是“定义”的意思,详细讨论参见“论定义中的殊相与共相 - 公孙龙子《指物论》评析”,史宁中,《古代文明》,2009年(1).
7.序号是原文的.原文参见《欧几里得几何原本》,兰纪正 朱恩宽译,梁宗巨 张毓新 徐伯谦校订,西安:陕西科学技术出版社,1990年,1.
8.这是爱因斯坦在1953年写给朋友的信中所说的话,李约瑟在1961年发表的论文中全文引用了这封信.参见《爱因斯坦文集·Ⅰ》,许良英 范岱年编译,北京:商务印书馆,1976年,574.
9.参见 Richard Dedekind, Theory of numbers,Chicago:The open court publishing company,1901,5.中译本参见《实数探原》,朱言均译注,长沙:商务印书馆,1940年.为了尊重译者和商务印书馆,这里仍然使用最初的翻译.
10.参见《古今数学思想·第4册》,克莱因著,北京大学数学系数学史翻译组译,上海:上海科技出版社,1981年,78.
11.参见《几何基础》,希尔伯特著,江泽涵 朱鼎勋译,北京:科学出版社,1995年(第二版).
12.参见《希尔伯特 - 数学世界的亚历山大》,瑞德著,袁向东 李文林译,上海科技出版社,2001年,90.
13.皮亚诺“后继数”的思想来源于戴德金.
14.参见《陶哲轩实分析》,陶哲轩著,王昆扬译,人民邮电出版社,2008年,16.
15.参见 Cohen, Paul J. and Reuben, Hersh, Non-Cantorian Set Theory, Scientific American, 1967, 104-116.
16.参见《基本概念与运算法则:小学数学教学中的核心问题》,史宁中著,北京:高等教育出版社,2013年.
17.参见《探索的思想:哲学的故事》,杜兰特著,朱安等译,北京:文化艺术出版社,1991年,67-68.
18.在后面讨论数学推理时,将更加详细的讨论什么是传递性.德国逻辑学家弗雷格非常关心这类问题,他用a=aa=b这两个等式所表达的思想不同讨论了意义和意谓之间的差异,参见《弗雷格哲学论著选辑》,王路译,王炳文校,北京:商务印书馆,2006年,119.
19.古代中国哲学已有充分条件和必要条件的论述,《墨经·经上1》说:“故,所得而后成也;小故,有之不必然,无之必不然;大故,有之必无然,若见之成见也.”其中所说的“小故”是必要条件.关于“大故”有三种解释方法:第一种如孙诒让在《墨子闲诂》第202页(上海书店,1935年)说,此疑当作“大故,有之必然,无之必不然.”这样大故就是充分必要条件,冯友兰在《中国哲学简史》第106页、胡适在《先秦名学史》第119页支持这种说法;第二种如杜国庠(参见雷一东《墨经校解》第41页)校为“大故,有之无不然,若见之成见也.”,这样大故就是充分条件;第三种如谭戒甫撰《墨辩发微》第50页(科学出版社,1958年)所说“大故,有之必然,若见之成见也.”这也是充分条件.因为充分条件包含的内容多于必要条件包含的内容,分别称为“大故”和“小故”.
20.参见《逻辑学导轮·第11版》,柯匹 科恩著,张建军 潘天群译,北京:中国人民大学出版社,146-149.
21.参见《语言、真理与逻辑》,艾耶尔著,尹大贻译,上海译文出版社,2006年,2.
22.在金岳霖的著作《形式逻辑》中,没有给出命题的概念,直接用“判断”替代“命题判断”,因此把推理定义为:推理就是根据一个或一些判断得出另一个判断的思维过程.
23.我们这里所区分的命题的“主观性”与“客观性”,与弗雷格所区分的“逻辑的”与“心理的”、以及胡塞尔所区分的主题学的“主观方向”与“客观方向”有类似之处、也有一定的区别:这两位学者更多地是从判断知识与获取知识的角度进行的论述,我们这里更多地是从命题的存在形式和数学教学指向的角度进行讨论.弗雷格的有关论述可以参见《弗雷格思想研究》第九章,王路著,北京:商务印书馆,2008年;胡塞尔的有关论述可以参见《形式逻辑和先验逻辑》预备性思考,胡塞尔著,李若蒸译,北京:中国人民大学出版社,2012年.
24.参见《我们关于外间世界的知识》,罗素著,陈启伟译,上海:上海译文出版社,2006年,40.
25.同上,34.
26.参见《语言研究的数学方法》,柏赫蒂 特缪伦 沃尔著,吴道平等译,北京:商务印书馆,2012年,179.
27.同上,508.
28.参见《探求真理的指导原则》,笛卡尔著,管真湖译,北京:商务印书馆,2005年,27.
29.等价物的范畴是指属于同一个集合.
30.对于第二类性质传递,无论是(Ⅰ)还是(Ⅱ)都存在两种情况,第一种情况结论的述说是确切的,第二种情况结论的述说本身就是或然的.为了不引发不必要的歧义,这里只涉及第一种情况,将在第五、六节讨论第二种情况.
31.参见《马克思恩格斯全集》第二十卷,北京:人民出版社,1971年,557.
32.古代中国用“北极出地”定义北纬,本质上是基于罗巴切夫斯基几何;爱因斯坦表达弯曲的四维时空,所使用的语言是黎曼几何.关于这两个问题的详细讨论分别参见《数学思想概论第5辑:自然界中的数学模型》第二讲和第三讲,史宁中著,长春:东北师范大学出版社,2012年.
33.参见《亚里士多德全集·Ⅶ》,苗力田主编,北京:中国人民大学出版社,1997年,91.
34.出自《韩非子·难一》.
35.参见《亚里士多德全集·Ⅶ》第196-107页,苗力田主编,北京:中国人民大学出版社,1997年.
36.参见《工具论·前分析篇》,亚里士多德著,余纪元等译,北京:中国人民大学出版社,2003年,88.
37.参见《西方哲学史》,罗素著,向兆武 李约瑟译,北京:商务印书馆,1976年,235.
38.三个命题的形式是全称肯定、全称肯定、全称肯定,这个型的拉丁文称谓是 Barbara,其中三个元音为A、A、A.
39.三个命题的形式是全称否定、全称肯定、全称否定,这个型的拉丁文称谓是 Celarent,其中三个元音为E、A、E.
40.三个命题是全称肯定、特称肯定、特称否定,这个型的拉丁文称谓是 DARII,其中三个元音为A、I、I.
41.三个命题是全称否定、特称肯定、特称否定,这个型的拉丁文称谓是Ferio,其中三个元音为E、I、O.
42.关于60°角不能三等分的讨论,参见《数学思想概论第2辑:图形与图形关系的抽象》第五讲,史宁中著,长春:东北师范大学出版社,2009年.
43.其它形式的数学归纳法可以参见《数学思想概论第3辑:数学中的演绎推理》第三讲,史宁中著,长春:东北师范大学出版社,2009年.
44.参见《数学与猜想》,波利亚著,李心灿等译,北京:科学出版社,2001年,2.
45.参见“从八卦到六十四卦:试论《周易》的思维逻辑”,史宁中,《哲学研究》,2011年(8),42-49.
46.详细讨论参见《古代中国哲学的推理、命题和定义(上)(下)》,史宁中,《哲学研究》,2009年(3)(4).
47.本文译自 John Stuart Mill, A System of Logic: Ratiocinative and Inductive, New York: Harper & Brothers, Publishers, 1882(8th- Editopm), p208.严复(1853-1921)曾经部分地翻译了这部书,参见《穆勒名学》,商务印书馆,1981年.《穆勒名学》原出版于1905年,金陵金栗斋木刻;1931年,商务印书馆再版,汇入《严译名著丛刊》.
48.即将完成的《普通高中课程标准》或者《普通高中课程标准解读》中将给出这个推导过程.
49.在现代统计学中,人们把其他种类的估计方法统称为非参数估计.
50.通常称这样的模型为伯努利模型,详细讨论参见《数学思想概论第4辑:数学中的归纳推理》第五讲,史宁中著,长春:东北师范大学出版社,2010年.
51.参见《形式逻辑》,金岳霖著,北京:人民出版社,2005年,224.
52.参见《钱学森的最后一次系统谈话》,涂元季等整理,《人民日报》2009年11月5日.
53.原书已经失传,后由阿拉伯文翻译为拉丁文,参见 Johannes Kepler: Gesammelte Werke, Vol.Ⅱ, trans. E. Knobloch, rev. G. Shrimpton, Munich: C.H. Beck, 1604/1939, p92.这段译文是东北师范大学历史系张强教授给出的.英语翻译可以参见 Jan Zwicky, Mathematical Analogy and Metaphorical Insight, The Mathematical Intelligencer, Springer Science+Business Media,Inc., 2006, pp4-9.
54.在概率论与数理统计的教科书中,这个结果是通过超几何分布推导出来的,参见 W.feller, An Introductiong to Probability Theory and its Applications, John Wiley: New York, 1957, p43.


Logicality in the Process of Mathematical Reasoning
SHI Ning-zhong
(School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)


Abstract:  This article discusses the mathematical reasoning, and then demonstrates the nature of a class of logical reasoning is that the process of reasoning possesses transitivity including relation transitivity and property transitivity, and these two types of transitivity can be expressed accurately using mathematical language and symbols. Since the object of mathematical reasoning is mathematical proposition which implies the definition of mathematical research object, this article restricts mathematical definition and the basic form of mathematical proposition. In order to meet the demands of mathematics education, this paper demonstrates further why the commonly used mathematical arguments are effective based on two types of transitivity mentioned above. The conclusion of this work is important for the development of mathematics education and is also meaningful to the development of logic.
Key words:  logical reasoning; deduction; induce; analogy; mathematical proposition; mathematical definition



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