高中数学教材“组合问题”的编排

唐佳丽,徐章韬 数学教育学报JME 2019-06-04

引用格式:唐佳丽,徐章韬.高中数学教材“组合问题”的编排[J].数学教育学报,2019,28(2):46–51.

作者信息                

唐佳丽1,徐章韬2                

(1.石门实验学校,广东 佛山  528248;2.华中师范大学 数学与统计学学院,湖北 武汉  430079)

唐佳丽(1995—),女,湖南邵阳人,硕士,主要从事数学的教与学研究.徐章韬为本文通讯作者.

               



摘要        
以“编排分布、素材选择、呈现方式、编写模式”为分析框架,研究人教版高中数学中的组合问题.整体上,编排特点是隐性和显性贯串、组块和分散结合;素材的选择多是社会经验和学科知识;呈现方式符合数学本身的要求和高中生的身心发展特点,旨在发展学生的数学思维;教材编写模式单一.可通过挖掘传统知识间的组合思想和用组合丰富传统内容的内涵两种途径,促进组合问题和传统内容的相辅相成.


关键词:组合问题;组合思想;教材编写
中图分类号:G632  文献标识码:A  文章编号:1004–9894(2019)02–0046–06


1引言

教材在日常教学实践中的地位举足轻重,它是学生学习的最直接素材,它的质量对教学质量的影响显著.故有大量研究者从不同角度对中国现行数学教材进行分析比较,为课程改革助力.有研究者从数学史的角度对不同版本教材进行对比研究[1],也有对高中教材中数学史的分布[2]、应用现状[3]进行统计研究;有研究者对新教材的编写风格[4]、数学观[5]进行剖析;有研究者对高中数学教材中的“阅读材料”的价值进行分析和挖掘[6];有研究者从特定、具体的内容出发,指出教材编写中存在的问题[7],提出教材编写和教法的建议[8];有大量研究者对高中数学教材中的内容进行国际对比,如,高中数学教材中的核心数学内容[9]、比和比例[10]、微积分内容[11]、教材习题比较[12]、例题难度[13]、教材难易程度比较[14]等;更有研究者分析国际教材研究和发展的趋势[15],提出今后教材研究的要求.

组合问题研究离散对象的排布、配置、选取、组织结合,它是迅猛发展的计算机科学的基础之一,蕴含着丰富的数学思想方法,凡是涉及到多种可能性的地方,就会有组合,在数学中分布甚广,在生活中应用也广泛.但在实际教学中,师生普遍反映组合问题难教、难学,所以理应对组合问题在教材中的呈现有更优的统筹规划,有更深入的讨论分析.目前已有研究对小学组合内容的编排进行了分析[16],有研究探究影响高中生学习组合的因素[17],但对高中数学教材中组合问题的编排关注还不够,研究还较少.故这里采用文本分析法,对人教版高中数学教科书A版的组合问题进行定量统计和定性分析,探讨教材中组合问题的材料选择和分布特点,以更好地培养学生思维的全面性和条理性,发展学生的数学素养.

特别指出,这里研究的“组合问题”是范围较广的组合问题,是教材中所有含有“组合思想”的问题,即具有组合特征的内容,包括所有存在多种可能的内容,如,存在多种不同方式(对称方式、切割方式等)、不同关系(“或”“且”关系、“交”“并”关系等)、不同排列(向量或图形的组合排列、公理的排列等);也包括运用有组合特征的方法、技巧、原则去处理各种问题的思维方式和习惯,比如,将连续的事物离散化,将离散的对象排列、组合、分类与归纳、关联与构造、发现包容与排斥、递推关系,等等[18].其中的例子不胜枚举,如,在实际教学、实际生活以及教育研究中,将连续的属性测量值人为划分为几个区间(可能还存在多种不同的划分方式),进行不同赋值或形成不同等级,再根据需要进行分类、归纳等,这已成为一种生活和研究的智慧,可见组合之思想朴实、深刻.


2研究设计

明确研究问题后,依据研究和研究问题的特征,研究方法和分析框架便可随之逐步确定.

2.1    研究对象

根据现行人教版教材的使用情况,选取现行高中人教社数学A版必修1-5,及选修1系列(选修1-1、1-2)和选修2系列(选修2-1、2-2、2-3)作为研究对象.

2.2    研究方法

通过对知网的文献检索,与高中“组合问题”的教材编排相关的研究几乎没有.为了弥补这个空白,采用文本分析的方法,对高中教材中的“组合问题”的编排进行研究.所谓文本分析,它是一种收集资料的方式,类属于实物分析,主要特点是为研究提供物质依据,揭示制作者和使用者的动机和意图[19]

故应根据研究问题和考究内容对高中数学教材文本进行查阅、鉴别归类、整理、统计分析,结合定量的统计和定性的描述,由表及里,对高中教材中的“组合问题”的编排进行研究,达到促学、促教之目的.

2.3    分析框架

按“编排分布、素材选择、呈现方式、编写模式”为分析框架,从整体上把握,从细节处分析,从风格上体现高中教材对组合问题的编排.

2.3.1   编排分布

对高中人教社数学A版必修1-5,及选修1系列和选修2系列的组合内容做了相关统计,依据对组合内容的理解以及在书中的呈现方式,将高中教材中的组合内容分为显性的组合内容和隐性的组合内容.其中,显性的组合内容是指在教材中的组合知识是围绕某一个组合内容以较明显的方式呈现,其教学目的就是使学生掌握相关的组合知识.如,排列组合、加法原理、数学归纳法、古典概型(虽是概率模型,但里面只包含离散型随机变量的多种组合,具有的组合特征十分明显)等.而隐性的组合内容由呈现方式、呈现位置决定,包括其它非显性组合知识中隐含的组合思想、教材中教授其它知识的组合素材、教材的补充材料——“阅读与思考”“探究与发现”等.比如说,大量的求随机事件的概率中所蕴含的组合知识,以及象限角的分类,教授反证法时选择的例题为染色问题、出现在“探究与发现”中的“杨辉三角”等,均可看成隐性的组合内容.隐性的组合内容的组合特征有的较为隐蔽,无法一一描述,故在统计内容后做简要说明,统计结果见表1.

表1   教材中组合内容编排分布

对教材中主要的组合内容按照其所属组合领域进行划分,可分为7类,具体见表2.

表2   教材主要组合内容的领域统计

据统计结果显示,组合内容在高中的编排主要有以下两个特点.其一,显性教授,隐性渗透.通过对显性的组合问题的学习,如,通过加法原理、乘法原理、二项式定理、集合的构造与运算学习组合排列、分类和计数,通过等差、等比数列学习递推关系,通过欧拉公式学习图论的方法等,使学生在具体的知识当中把握组合问题,掌握思想方法,达到对组合问题的深度理解.而对于隐性的组合知识,则采用的是细微之处的细节处理,使隐性的组合内容“藏”在其它知识点之下,以拓宽组合问题的广度为主,增加组合问题的内涵以及外延.如,教授合情推理时所选用的素材为河内塔问题,向量的加法交换律和分配律的证明为两点之间不同路径的选择,一个方程的多个解之间的“或”关系,以及方程组的解中未知数取值的“且”关系等,这些知识虽然不是以直接的组合知识呈现在书中,却蕴含着丰富的组合思想方法,旨在借助传统内容进行组合的“渗透”.

其二,组块编排,分散编排.高中生的心理水平已经较为接近成人,认知的品质和意志品质较高,组块编排以直线式为主,符合高中生的身心特点和认知水平.故教材选修2-3集中编排了大量的组合问题,通过专项训练和应用加深理科生对组合问题的理解,选修1-2则以隐性的组合内容进行编排,选择了大量的组合素材,促进文科生吸收组合思想.分散编排是指组合问题散布在数学教材中的各个角落,或成为某一章的学习内容,或成为某一节课的学习内容,或搭配其它内容一起学习,一种思想方法在不同教材和章节多次出现,以螺旋式为主.这种组块编排和分散编排让直线式和螺旋式的组织方式相结合,共同推进学生的学习.

除此以外还可以发现,教材的“阅读与思考”“探究与发现”中蕴含了丰富的隐性的组合内容,这些内容可以拓展学生的数学视野,更大程度上体会到“好玩”、有趣的数学,激发学生学习数学的积极主动性.这也就表明,教师在平时的授课中应该注意使用教材中的材料信息,充分挖掘材料的内涵和教育价值,最大限度地发挥教材的育人功能.

2.3.2   素材选取

隐性的组合内容的素材选择,集中于借助其它数学知识渗透组合思想,可将大多数隐性的组合内容的素材看成数学知识,不予以具体统计.下面对显性的组合内容按所在教材统计例题素材,可以将例题素材分成社会经验和学科知识两个类别,其中社会经验是指与生活紧密相连的现实问题,数学知识则指单纯的数学问题,统计及整理结果见表3、图1.

表3   教材中显性组合内容例题分类统计

图1   组合问题素材选取分布

高中阶段是由经验型抽象思维向理论型抽象思维的过渡阶段,教材的素材选择应主要以促进学生进行数学思维为主,让思维活动成为数学探究的主要活动.由图1可以看出,社会经验的素材比数学知识的素材稍多一点,总和差异不明显,但在各本教材中的分布呈现了“一边倒”的倾向,这跟知识的内容有关.等差数列、等比数列以及数学归纳法本身就是单纯研究数学的知识,例题的选择直接从数学出发,多数没有实际背景,重在体会数学的科学价值;而排列组合、计数原理、古典概型等方面的内容多与生活息息相关,借助一定的社会生活经验能更好地促进学生思考,意在拉近数学与生活的距离,体会数学的应用价值.

从总体上看,教材的编写既重视数学的科学价值,又重视数学的应用价值,从多方面体会知识的价值,符合高中数学课程标准的目标要求,也有利于学生认识数学的本真.但从局部上看,对于某单一知识,教材这样明显“偏一头”的处理似乎有失妥当.如,在“二项式定理”的素材选择上,使用的都是数学知识,例1:求的展开式;例2:(1)求的展开式的第4项的系数;(2)求的展开式中x3的系数.这两个例题旨在巩固二项式定理,学会具体情况下对公式的简单运用,但如果增加一些含有生活背景的应用题,无论在增加学生对“二项式定理”的理解和体会,还是指导教师的教学取向都有好处.

2.3.3   呈现方式

高中数学的教材编排以激发学生进行数学思维为主要目标,其呈现方式主要包括文字和图表.思考、探究、例题的呈现都是文字,因文章“素材选择”部分统计了例题,这里对文字的统计只涉及思考、探究.其它呈现方式包含文字图片、图、表,其中,文字图片分为两类,一是带问号的文字图片,一般用于提问;二是其它类别的文字图片,多用于标注和解释.图也分为两类,一类是物图,即配合情境出现的事物图和人物图;另一类是数学图,主要是只与数学有关的图,如维恩图、算法程序框图等.图文并茂的呈现目的是增强学生的视觉投入,促进学生对数学的理解,提高学习效率.表格有清晰明了的特点,高效地整理数学信息,高效地解题.对显性的组合内容的呈现其结果见表4、图2.

表4   组合问题呈现方式分布

图2   组合问题呈现方式分布

从整体的页面版式来看,排版总体上简单朴素,平均每页1~2个例题.图的颜色也比较柔和地搭配在例题旁,其它部分多是白色,这种朴实的呈现给人平静的思考空间,不过多地分散学生注意力.从画面的呈现方式来看,思考和探究用不同颜色进行了文本框的填充,以吸引学生的注意,使学生快速地抓住问题思考的关键所在,有效地进行探究.

从内容上来看,教材中的思考主要针对某一个具体问题进行提问,探究则是对一类问题进行深究,教材对一类问题的研究提示在数量上要多于对单一问题的研究提示.探究、问号的文字图片、其它文字图片占总体的比例较大,说明在组合问题编排上,教科书较注重对知识的发问、解释、以及对具体问题的进一步抽象.纯文字和图的使用与年级没有明显的因果关系,但是文字图片的数目逐渐在升高,这与所学知识的复杂程度有关,随着所学知识的复杂程度的升高,学生所学的知识逐步走向精微化,思考的问题会越来越多,需要注意的地方也会越来越多,教材这样处理符合知识本身的要求.

2.3.4   编写模式

依据对组合内容的显性和隐性划分,隐性的组合内容多分散在教材的各个部分,需要教师在平时的知识传授中渗透组合思想.现以选修2-3第一章第一节“分类加法计数原理与分步乘法计数原理”为例,对显性的组合内容的编写进行分析.

此节的编排共4个思考题、4个探究题和9个例题.

由思考题“用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?”引出教学.教材先是对问题进行了解答,且没有止步于此,进而引导学生从解决问题中跳出来,对问题本身的特征进行探究,也体现出站在比解决问题更高的高度审视问题本身,是数学解题教学和数学抽象中关键的一步.在探究出问题的最主要特征——“或”之后,紧接着用外延的角度阐述了不同方案的意思,并用含问号的文字图片提出问题:你能举一些生活中类似的例子吗?显然,这是知识进行推广的前提.而后,教材就给出了解决这类含“或”问题的一般解法,提出了分类加法计数原理,并用文字图片从内涵的角度给出了“两类不同方案”的注解,配合前一段外延角度的例子,多方位帮助学生理解不同方案的意思.形成对知识的理解之后,教材接着编排例题加深对知识的理解,旨在使学生在理解的基础上进行知识的巩固和应用,完善认知结构.例题1的难度较小,信息以图表的形式给出,这也暗示解决组合问题存在的多种手段和方法,其中列表法也是常见的解决组合问题的策略.接下来的探究提出3类不同方案该如何计数,以及n类不同方案该如何计数的问题,且没有给出答案.这是两类不同方案计数的深化,复杂程度更高,重在引导学生积极思考,促进知识的迁移.

“乘法计数原理”的编排和“加法计数原理”的编排十分类似,故不赘述.呈现知识后,用例题2进行巩固、探究、引申,提出3个步骤以及n个步骤计数问题.例3是这两类问题的组合,较例1(只涉及分类)和例2(只涉及分步)多了区分的工作,目的是考察学生对这两种计数方法的辨别和应用.例4、例5、例6、例7、例8、例9均是加法和乘法计数原理的应用,其中例4涉及加法原理,例6、例7涉及乘法原理,例5、例8、例9是这两种计数原理的综合应用,例题的难度和复杂程度在逐步提高.最后通过两个思考题启发学生对计数原理的进一步思考.第一个思考题引出分类时要“不重不漏”,分步时要“步骤完整”;第二个思考题更是引导学生思考这两种计数原理的关系,建立知识与知识之间的关联.

这节课的编写从总体布局来看,内容的引出多数由思考题出发,由思考题创设一个问题情境,再一般化探索,经研究得到一般化规律,接着进行巩固、深化,大致按照“问题情境—一般化—探求规律—应用和拓展”的模式展开.符合知识学习的步骤规律:知识的理解、知识的巩固、知识的应用,也体现了由具体到一般的学习规律.而对事物进行分类研究,这也是有理可循的,相同类别的事物才具有某方面的高度一致性,才能更大限度地帮助人们尽快认识世界,理解世界,用简单的东西解释更多的事物一直是数学的追求.所以教材呈现了平时生活中常常遇到的这两类事(分类和分步),并对这两类事进行研究,抓关键特征:“或”“和”,提出解决问题的通法,再启发思考,使规律更具一般性,规律之间具有关联性,循序渐进,稳步前行.但值得思考的是,教材的编写模式是否可以多样化,如果能依据知识的特点,选择一些新的模式,如,“杨辉三角”的教材编排可采用文化“继承”模式[20],调动学生学习的积极性,提高学习效率.


3讨论分析

通过对“组合问题”的教材编排研究,可以得到以下研究结果.

(1)在内容上,显性组合内容和隐性组合内容相贯串;在方式上,组块和分散相结合.

(2)整体上素材集中在社会经验和学科知识,单一知识素材的选择较为单一.

(3)呈现方式较为丰富,符合学生的认知水平和知识的特点.

(4)编写模式按“问题情境—一般化—探求规律—应用和拓展”进行,符合知识的学习过程,但可根据知识特点丰富模式.

之所以研究范围更广的“组合问题”,主要目的是加强传统内容和狭义的“组合问题”的联系,使传统内容间的隐性组合内容成为教授一般意义的“组合问题”的一个突破口.如果教师在传统内容的教授中已经潜移默化地将组合思想渗透给学生,待后面学习排列组合时又有何惧?根据研究分析,教学需要注重以下几个方面.

组合内容的编排和教学要与传统内容相辅相成.组合问题在高中阶段正式进入教材,除了大量组合内容的组块编排外,还有很多组合内容是融入到传统内容之中的,它们的编排和教学可以相得益彰.如,空间中直线与平面的位置关系就蕴含了组合思想,根据线、面交点的个数可以将线、面的位置关系分为直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.这种分类总结的方法在高中的许多内容中都适用,对学生建立完善的认知结构作用斐然.再如,古典概型和离散型随机事件的概率是中学概率统计的重要内容,这些内容不是纯粹的组合知识,但里面的组合特征十分明显,而要想成功解决这类型的题目,就必须掌握排列组合的内容,这里的组合内容是为概率等内容服务的.组合问题和传统内容可以相互融合,相互促进.既然组合问题可以和传统内容发生关联,那值得思考的问题是,如何加强组合内容和传统数学的关联使之相倚为强,下面提供了两个思路供参考.

高中的组合问题需要教师主动挖掘教材知识及知识间的组合思想.中小学数学的研究对象包含大量的离散性材料,必然会呈现组合特征,有些知识的组合特征十分明显,有的则需要教师加以挖掘.前面统计的隐性的组合内容在某种程度上也是明显的组合内容,因为它是实实在在呈现在教材中的知识,而有更多的组合思想是存在于解决问题的过程中的,它们已经成为人们思考问题、解决问题的一部分.举例子来说,中学统计中的一个基本概念“平均数”中就蕴含着组合思想,如果已知互不相同的3个数abc的和为一个定值k,则abc中一定存在一个数大于,一个数小于,这是平均数很自然的性质,同时,这也可以看成抽屉原理的一种解释,这样,这条性质就具有组合特征了.再如,教材中的同名三角函数诱导公式为什么是9个?同名三角函数诱导公式,其实就是一个角的终边关于坐标轴元素对称的对称边形成的角之间的同名三角函数值的关系,即关于x轴,y轴,原点的对称边形成的角,而三角函数在中学研究3个,故同名三角函数的诱导公式是3×3=9个.三角函数为何是6个?圆锥曲线为何是3种?除此之外,很多知识之间也有组合思想蕴含其中.对于算法的优化可以看成一种组合优化,即为了达到目的,对算法中有限步骤的组合优化.再如,为了让样本更具代表性,书中介绍了3种抽样的方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,引出新的抽样方法是为了避免先前的抽样方法的局限性,故这3种抽样也可以看成是样本能更好地代表总体的组合优化.这样的例子数不胜数,这里就不一一列举.其实,组合问题中蕴含的远不止分类、优化、逻辑推理的数学思想方法,还有很多其它的原理和方法,如,数形结合、对应、数学建模、统筹的思想等.通过对组合问题的学习,可以使学生感受到多姿多彩的数学世界,可以丰富学生的思想,发展学生的思维,获得必要的能力.

用组合的视角丰富传统内容的内涵.组合问题和传统内容之间的关系,不仅仅在于用传统知识之间的组合特征渗透组合思想,还在于,从组合的角度分析传统内容,可以增加传统内容的内涵.如,在解决几何问题上平易简捷的向量“回路法”,从理论上分析,“回路法”可看作是欧拉图的一种运用,进一步与图论中的有向图产生了对应;在应用中考虑,选择适当的向量“回路”解决问题,不正是从多种可能中选择较优的组合路径吗.故,用图论的观点刻画向量“回路法”,借之以工具解决高中阶段的几何问题,建立与几何的关联,既丰富了传统知识的内涵,又表明数学知识间的相互贯通,不论是对数学本身,还是对学生而言,都是大有裨益的.

宏观指明方向,微观体现细节.除整体上把握组合问题外,教材的编排还理应追求素材的合理性.如,对于数学归纳法这类数学知识的引例素材:对于数列{an},已知a1=1,n=1, 2, 3…)……用它是否能自然地引出数学归纳法?而对于组合问题的应用,也应该打破固化的“找次品”“摸球”等题目模式,2017年全国高考数学卷一在解析几何题中引入组合元素,使解析几何题有点组合的味道,就是一个很好的趋势.另一个值得思考的问题是,在以学科核心素养为主线的新一轮高中课程标准的修订中,要求围绕核心素养制定教学内容,以“精简、增加、渗透”为原则[21],现行教材中的组合问题的内容及其素材选择是否恰当,是否能发展学生的数学核心素养,是否能使学生符合信息时代要求,这都是需要进一步考究的.


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Arrangement of Combination Problems in the High School Mathematics Textbook
TANG Jia-li1, XU Zhang-tao2
(1. Shimen Experimental School, Guangdong Foshan 528248, China; 2. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)


Abstract:  Based on the analysis framework of “arrangement distribution, material selection, presentation mode and writing mode”, this paper analyzed the arrangement of combination problems in the high school mathematics. Overall, the choreography was characterized by combining implicit arrangement with explicit arrangement, chunk arrangement with scattered arrangement; The selection of materials included two parts: social experience and mathematical discipline; The presentation was in accordance with the mathematical requirement and the physical and mental development characteristics of high school students, aiming at developing students’ mathematical thinking; The textbook was written in a single mode. By mining the combination of thought in traditional knowledge and enriching the intension of traditional content, the combination problems and the traditional content were mutually reinforcing.
Key words:  Key words: combination problems; combination of thought; arrangement of textbooks



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