一道AMC8真题的解法分析和对比

娄文 欧拉数学荟 2019-07-01
荟思

对这道AMC真题,本文列举了两种思路不同的解法。数学解法既需要学习像其中第一种解法那样的,厚重而扎实,也需要像第二种解法那样的,巧妙而轻灵,让人有灵机一动的顿悟之感。


在两个星期前的AMC讲座上,我引用了2015年AMC8的一道真题作为例题。这道题在当年的试卷中是一道压轴题,理由有二。

首先,这道题涉及初中的平面几何知识。如果是8年级(相当于初二)的学生来做,知识量也许刚好够用。更低年级的学生,在只具备小学阶段的几何知识的情况下,要解出这道题就需要很高的技巧。

其次,解答时间较长。按照常规的平面几何方法求解,要设未知量,要解二次方程,计算步骤比较多。即使按较高的熟练度来估算解答时间,也至少需要五分钟。相对于平均每道题只有1.6分钟的解题时间要求,这样的题目正确率不会太高。

实际上,要正确解答出这道题还有一个现实困难。这个题目是整份试卷的最后一道题,在经历了前面的高强度解题煎熬后,大脑已经有相当的疲劳程度,面对这个题目时很难保持良好而高效的解题状态。而且,即使这道题不是被放在最后,在读完题预估了解答时间后,学生也可能会选择暂时搁置,放到最后才来作答。

现在来看一下题目。

题意很简单。在一个边长为5的正方形四个角上各去掉一个边长为1的小正方形,所得到的“胖十字形”内,能容纳的最大的正方形面积是多少?

不难想象,要使正方形的面积最大,应该像下面这样斜着放置。

现在要根据这个图形,确定正方形的面积是多少。

我看完题目的第一反应,是求出正方形的边长。这也是常规的平面几何解题思路。具体的求解过程见下图。

分割成两部根据对称性。记只需要求值,就可以得长度。

值需要满足既定的限制条件,而要找出这些限制条件,就需要仔细观察图形。首先,比较容易发现的直角三角形,所以由勾股定理,

其次,可以发似,所以对应的边的长度成比例。为了包我们选比例等式。在这个等式中,已,但长度未知。

为求长度,我们,则还是利用同一对三角形的相似关系,我们得比例等式,由这个等式可推出一元二次方从而解

不难发现这两个解的和,当长度)取其中一个值时长度就是另一个解的值。根据对称性,我们只需要考虑其中一个解的情况就足够了。

回到等,即由此代入勾股定理的等式可解进而求


由此可知,正方形的面积是15,所以应该选(C)。

这种解法用到了勾股定理、相似三角形的性质,这些都是初中平面几何的基本知识内容。整个解答过程包含的步骤较多,可知解答时间不会太短。

有没有不需要使用初中几何知识的解法呢?答案是肯定的。不过(可惜)这个解法不是我给出来的。见下图,把正方形切割成五块,中间的是边长为3的正方形,另外四块是完全相等的三角形。

显然只需要求出其中一个三角形的面积,例如∆ABC。而这个三角形的底边长度为3,高为1,所以由三角形面积公式可知它的面积为1.5。所以整个正方形的面积=9+1.5×4=15。

这个解法只用到了面积分割和三角形面积公式,它们都在小学的几何知识范围内。而且,解答过程简洁而不拖泥带水,是相当优美的解法。

如果一定要从这两种解法中选出一种来,应是后一种解法更优,但并不意味着前一种解法不是好的解法。两种解法的思路迥然不同。第一种是从边长和角度入手,第二种是从面积关系入手。

事实上,在教学中我们更应重视对第一种解法的掌握。我们要时刻记住,平常的解题训练,目的并不是更快地得到答案,而是在解题过程中巩固对相关知识内容的理解和运用

数学解法既需要像上述第一种解法那样的,厚重而扎实,也需要像第二种解法那样的,巧妙而轻灵,让人有灵机一动的顿悟之感。

最后还需要说明一下,如果从解法的完整性来看,这两种解法都缺了一个部分,就是证明以这种斜着摆放、并且与“胖十字形”的边界有8个接触点的正方形,面积可以达到最大。只不过,在特定的时间和考察形式限制下,这个证明也就不强求作为必要的解答步骤了。但如果我们因此而完全无视了这个步骤的存在,对这个问题的理解就是不完整的。



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