这个三角形里的“洞”,也是我们脑袋里的洞

娄文 欧拉数学荟 2019-06-30
荟思

数学的严谨论证精神,随着学生对数学这个科目的厌恶感越来越强,而离大众越来越远了。

数学证明是进行严谨性训练的手段。然而,也正是机械地强化数学证明训练,使学生对论证精神愈加排斥和反感。

缺乏严谨论证的精神,就像脑袋里有一个洞,使我们的头脑丧失了相当一部分思考的功能。而如果想填上这个洞,我们需要付出很大努力,而且无法由他人代劳。


有一道流传了挺久的几何趣题,估计有很多人已经见过了。首先,把一个三角形分成四块,如下图。

然后,把四个部分的位置打乱,再拼接到一起。这时,拼出来了一个跟之前看起来大小一样但少了一个小方块的三角形,如下图。

如果已经看过这道题,想必也应该了解了题目的答案了。如果以前还没看过,不妨尝试思考一下。不过,我现在想给大家介绍的不是这个问题,而是从这个问题演化出来的另一个问题。

请看下面的视频。


同样都是把一个三角形分割成四块、再拼接起来却空出一个正方形的洞,但两种不同的表现形式,导致整个分析都完全不一样了。

按照我们从小建立起来的常识,同一块东西,无论怎样切割,各个部分的面积之和都是不变的。因此,用这样的常识反推,自然会想到,既然后面拼出来的三角形空出来了一个洞,那么最开始的四块木板应该也会有空隙

的确,我把这个视频发给很多人看,反馈有两种,一种是完全想不明白的“不知道”,另一种就是回答“原来的几块木板之间也有空隙”——也就是上面说的从“常识”反推的方式。

我在这里分享这个问题,并不仅仅是给大家做一道题目。在我看来,看不明白这个问题没关系,自己解释不清楚这个问题也没关系。最坏的一种情况是,根据自己的既有立场给出一个自认为是充足理由的解释。

在这个问题里,我们的常识是重新排列前后的面积应该一样。那么,既然可以确定重排后不能填满三角形,重排前自然也应当有空隙。这,就是我们在这个问题上已经认定的“立场”。

现在问题来了。很多人会把这个自己原来已经存在的立场,就当作了对这个问题的解释,并且很满意这个解答,自以为已经搞清楚了这个问题。

在社会事件的讨论中,类似这种“把立场当作分析和解释”的错误非常普遍。进而,因为认同这样的错误的人很多,使得真正严谨的分析和解释被排斥。如果分析的结果正好和他们的立场一致,最多也就被认为是“多此一举”而不屑一顾;如果结论跟他们的立场对立,则往往被斥为“胡说八道”。

为什么会存在这样的逻辑错误?因为脑袋里有一个“洞”,这个洞切断了我们的推理链条,使我们丧失了推理能力

为什么这样的逻辑错误广泛存在?这个问题不难回答,但我不想在这里直接给出答案,我希望每个人都能自己思考一下这个问题,并且时常进行自我反省。

自己脑袋里的“洞”,也只有自己才能够填上。



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