一道AMC8真题的解法分析和对比(续)

娄文 欧拉数学荟 2019-07-03


荟思

对上一篇文章里讨论的AMC真题,本文再给出三个不同的解法。通过对比分析这几个解法,有助于我们对题目中相关的量(例如边长,角度,面积)之间的关系有更透彻的理解。

刷题和做题的区别,关键在于是否对解法进行分析对比,真正掌握了其中的思路和处理技巧。


在上一篇文章《一道AMC8真题的解法分析和对比》里,我对2015年AMC8的一道题目给出了两个解法。这两个解法各代表了一类方法:第一个解法是利用三角形的相似性导出的边长关系求解,第二个解法是直接计算一些三角形的面积。

对这个题目,我们还可以给出下面几个解法。但如果仔细观察对比,可以发现新的解法和原来的两个方法是有关联性的,其中有些步骤也是相同的。在求解思路上,新的解法仍然可以归入上述两类方法之中。

当一道题目有多个解法时,我们要做的不仅仅是逐个了解这些解法的步骤,更重要的是归纳它们的解题思路,以及对比不同解法的差异性。事实上,一道题目的解题思路往往不多,而一个解题思路下可以发展出多个解法。

下面我们给出三个新的解法。其中,前两个解法都利用了三角形的相似关系求边长,最后一个解法则是直接计算面积。

解法一

,在直角三角,由勾股定理

另一方面,因

,或

联立这两个方程,得到关二元二次方程组。利用完全平方技巧,将两个方程加权相加即正方形的边长所以面积是15。

注:上述解法源于上一篇文章的一个读者留言。

解法二

中间的正方形可以认为是由大正方形切割掉外围的四个全等的三角形得到的。∆DGC是这四个三角形中的一个,下面我们来求∆DGC的面积。

,则


整理后得一元二次方

解这个方程面积因此中间的正方形面积等

解法三

仍然是面积。还是,则,把成两个三角

高,所以面积类似地高,所以面积两者相加,面积

连同上一篇文章给出的两个解法,这道AMC8的题目已经有五个解法,但解题思路只有两个——利用三角形的相似性求边长,或直接计算面积。而同样是计算∆DGC的面积,也有不同的处理方式。本文的解法二是先求∆DGC的边长再计算面积,而解法三则是把∆DGC分割成两个三角形后直接求面积。

任何一个解法,我们都可以从整体思路和具体的处理技巧这两个方面去了解和对比。我始终反对刷题的学习方式,但这不等于不需要进行解题训练。其中的关键在于,你有没有在解题过程中,对解法进行深入的理解和分析。



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