难题不难,关键在于抓住题目的“七寸”

娄文 欧拉数学荟 2019-08-11
荟思
每一个复杂的数学问题,都可以追溯到相对简单得多的基本问题。因此,能否成功地解决复杂问题,关键就在于是否能从复杂问题这个“表象”,发现隐藏在背后的基本模型


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在数学学习中有一个普遍现象:听老师讲解题目都能听懂,自己做题却无从下手。造成这个现象主要有两方面的原因。

一方面是老师只着重于单个题目的解法,没有指出解法中包含的思想根源以及不同题目的解法之间的关联性,结果造成一种“孤岛效应”——学生即使看懂了一道题目的解法,对解其他题目也帮助不大。

另一方面,学生对老师有依赖性,总期望老师提供尽可能多的帮助,从而减少自己需要付出的努力。这种期望值也导致了对老师的评价模式——能让学生学得更“轻松”的就是好老师,而其中表现优异者更是被授予“名师”称号

思维懒惰是人性,是普遍存在的。幸而人性中同时也包含了好奇心,好奇心会推动我们去思考和探索。一般而言,孩子的好奇心是最强的,随着年龄增长好奇心会逐步减弱,而思维惰性则会日益占据上风。所以克服思维惰性要尽早,越迟则越困难越被动。

其实,大多数学生都能做出来的基本题,和只有少数学生能做出来的难题,求解它们时使用的可能是同一个基本方法,只不过基本题通常两三步就可以得到答案,而难题则需要较多步骤。所以,解难题的关键在于找到它们和基本题之间的这个共同的解题方法

下面,我们来看一个几何题的例子。
1.  基本模型
下面四个长方形拼成一个大长方形。其中三个长方形的面积已知,求左下角长方形的面积。

如图,分别记两条水平线段的长度为a和b。

则上面两个长方形的面积之比为a:b,下面两个长方形的面积之比也是a:b。所以,如果左下角长方形面积为x,则x:8=3:6,从而推出x=4

当然,也可以利用两条垂直线段的长度之比,得到x:3=8:6,得到的x的值是一样的。

这道题难度不大,只用到了长方形的面积比例的知识点。所给的条件也很直接,列出式子后很快就可以解出答案。

根据上面的解答过程的分析,只要知道三个小长方形的面积,就可以列出比例等式,从而求出余下那个长方形的面积。

2.  推广问题

如下图。三个长方形的面积已知,求左下角长方形的面积。

像前一个问题那样,我们仍然可以用线段长度之比来表示相应的两个长方形之比,但由于图形的复杂性,无法进一步得到任何等式关系。

如果不借助面积之比来寻找答案,是否还有其他可用的途径呢?显然,要确定任意一条线段的长度都是不可能的,因为我们很容易枚举出很多种不同的可能性。

再联系到上面的基本问题,设想把右上角的长方形多补一块,得到一个大的长方形,此时如果能确定右上角的长方形面积,那么就可以利用基本问题的解题方法求出左下角的长方形面积。

补齐后的右上角长方形的面积有很多种可能性,唯一的限制条件就是面积大于10。例如,我们很容易列出下面几组对应的面积。

显然这几组面积都不违反题目的所有条件。也就是说,这道题有很多(应该是无穷多组)解。

为了使解的数量有限,我们增加一点条件。见下图。

现在多了两条线段的长度条件,是否有助于求出其他线段的长度呢?直接求仍然不行,但可以通过设未知量的方式依次表示出其他线段的长度,并最终得到关于未知量的等式关系。见下图,设右下角长方形的水平边长度为x。

根据左上角长方形的边长和面积关系,可推出下面的等式,即关于x的方程。

化简后得到一个一元二次方程


解方程得x=6x=5.4。相应地,左下角长方形的面积为9或12。

【思考】这道题的答案是不是这两个值?

上面的解法很自然地利用了线段长度的条件,并和长方形面积联系起来导出方程,是一个常规的解法。

还有没有其他的解法呢?特别是,是否有基于面积比的解法?毕竟,这个题目看起来跟基本问题还是挺相近。

答案是肯定的。刚才我们已经给出过一个思路,即通过扩充右上角的长方形,把整个图形补成一个大长方形。现在有了两条线段的长度,可以求出大长方形的面积是45。设左下角长方形的面积为x,则右上角扩充后的长方形面积为45-6-18-x=21-x

像基本问题那样列出比例等式6:(21-x)=x:18,并导出方程

这个方程的两个解恰好就是9和12,跟前一个解法得到的结果是一样的。

3.  延伸思考

我们对上面的推广问题给出了两个解法。大家有没有发现它们有什么共同点?

我不知道其他人会看到什么共同点,但我看到的是——它们都没有用到题目的其中一个条件,即右上角长方形面积为10的条件。

当然,有些题目也会刻意设置冗余条件,作为“烟雾弹”干扰思考方向。也许这就是个冗余条件?

重新检验一下两个解。当左下角长方形面积为9时,可以推出右上角扩充后的长方形面积为12;而当左下角长方形面积为12时,右上角扩充后的长方形面积为9。

这个检验结果很好地反映了整个图形的对称性,即两个处于对角位置的长方形面积是可以互换的——不仅左下角和右上角的面积可以互换,左上角和右下角的面积也可以互换。

不过,这个检验结果同时也告诉我们,右上角长方形面积并不是一个冗余条件,因为它限定了扩充后的右上角长方形面积必须大于10,而这两个解中有一个并不满足这个要求,因此要被舍弃。于是,左下角的长方形面积只能是9。

尽管上面的分析确定了右上角长方形面积并不是完全不起作用的条件,但这个条件跟其他条件仍然有明显的不同,它唯一的作用就是检验所求得的解是否需要舍弃,而在求这些解的过程中完全不需要用到这个条件。事实上,如果我们把这个条件改为小于9的数值,那么它对最后的答案将完全没有影响。

基于以上冗余性分析,我们可以进一步提出下面的问题。

如下图,左上角和右下角的长方形面积分别为P和Q,求左下角的长方形面积。

设左下角的长方形面积为x,并把图形补成一个大长方形。

记右上角的长方形面积为y,则x和y满足以下方程组


于是x和y是一元二次方程

的两个根。根据a,b,P,Q的值,这个方程的正实数根可能是两个、一个或没有实数根。也就是说,无论这些条件怎么设置,左下角长方形的面积最多只会有两个不同的可能性。

上面的整个讨论过程,都源于长方形的面积比这样一个简单的知识点。第一部分的“基本问题”很简单,大多数学生都能掌握其解法。第二部分的“推广问题”就具有一定难度,即使讲过相关的例题,只要稍微对题目做一些修改,很多学生就可能不会做了。不信?可以看看下面三个题目。

【问题一】如下图,左上角、右下角的长方形以及右上角的“L型”图形的面积分别为6, 18和10,求左下角长方形的面积。

【问题二】如下图,左上角、右下角的长方形以及右上角的等腰直角三角形的面积分别为6, 18和4,求左下角长方形的面积。

【问题三】如下图,左上角、右下角的长方形以及右上角的四分之一圆的面积分别为6, 18和5,求左下角长方形的面积。

掌握“推广问题”的各种不同变形形式的解法的关键,在于充分理解“基本问题”中长方形面积比的性质。然而现实情况是,老师在课堂上的时间分配通常遵循“简单问题快速解决,把时间多留给难题”的原则,因此学生在学习“基本问题”时只是记住了比例等式的结果,却不了解这个比例等式有多大的意义。

而碰上“推广问题”后,即使老师对例题进行讲解,很多学生也往往应付不了各种变形问题。究其原因,就是因为在学生的意识里,没有以基本模型为中心,跟各种推广问题联系起来,因而很容易被题目的条件误导和迷惑

每一个复杂的数学问题,都可以追溯到相对简单得多的基本问题。因此,能否成功地解决复杂问题,关键就在于是否能从复杂问题这个“表象”,发现隐藏在背后的基本模型。而要提高这个洞察力,就得多花时间把各种基本模型理解透彻——不是死记硬背公式,而是要懂得运用模型中的基本关系。在此基础上,通过一定量的复杂题目的解题训练,每做一道题,就对基本模型的熟悉度加深一层,最终达到“无招胜有招”的境界。



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