英法德三国的近现代数学发展之路

欧拉数学荟 2019-09-01


荟思

当下,数学越来越成为升学的功利性工具,不得不说是数学教育的失败和耻辱。课堂教学紧紧围绕考试内容展开,学生无法领略数学之美,满眼里都只是解题之苦。

要使数学学习摆脱死板的解题,变得有血有肉,就必须了解数学的文化,特别是数学的发展史。数学的发展历程,就像一条铺满了智慧的大道,让人心驰神往。


在近代数学的发展进程中,英国、法国和德国都曾经拥有属于它们的黄金时期。直到现在,这三个国家仍然在不断贡献杰出的数学人才。了解这三个国家的数学发展脉络,有助于增进对数学这个学科的认识。
法  国

19世纪初,法国是唯一的数学大国,集中了当时世界上最具影响力的、以独创性著称的数学家,而且长期以来,法国的数学中心一直在巴黎。经过一个多世纪几代数学家的共同努力,法国保持着国际数学领先的地位。

第一代是以拉格朗日拉普拉斯勒让德为首的分析学派,他们都是用分析的工具解决力学、天文学、物理学等的问题,同时相应发展了数学分析的方法,尤其是解各种方程。同时,蒙日发展了综合几何学解析几何学,奠定了19世纪上半叶几何学大发展的基础。

第二代从傅里叶泊松斯拉姆刘维尔,最突出的人物是柯西,他们发展了强有力的分析工具用来解决各种数学物理学问题,特别是傅里叶分析复变函数论,与之对立的是庞塞莱沙尔射影几何学的奠基性工作,另外,伽罗瓦柯西置换群方程论方面的工作对后来的发展影响很大。

第三代数学家的代表人物是埃尔米特若当达布,他们的研究更为纯粹、更为专门、更有继承性。

第四代又恢复了昔日的光荣,最突出的是庞加莱,他对整个数学部门都做出了自己的贡献,同时为后人开拓许多新领域,特别是组合拓扑学微分方程定性论。同时代的皮卡班勒卫哈达玛也都是有国际声誉的大数学家。他们在19世纪末20世纪初恢复了法国数学的领袖地位。20世纪初以波莱尔拜尔勒贝格为首的一批数学家开创了函数论的方向,同时也使数学局限在函数论的狭窄领域。与他们同时代的E·嘉当列维只是在20世纪30年代以后才显示出他们的影响。

法国的数学发展之路在第一次世界大战之后开始走下坡路。一方面在战争中牺牲了整整一代人,另一方面在教学及科研方面的保守倾向和对外封闭,使法国数学开始落后于德国,就连法国最热门的函数论也落后于芬兰等国。当时新一代数学家开始走出法国,到国外学习法国很少甚至没有研究的新领域,如代数数论代数几何学抽象代数学数理逻辑拓扑学泛函分析等,然后回到法国掀起新的改革运动。
德  国

德国数学的发展与其大学教育的发展是密不可分的。1810年在洪堡(W.Humboldt)的努力下建立了柏林大学。那时的普鲁士还在法国的占领下,在经济极端困难的情况下,德国人发扬了民族主义精神,发愤图强,不惜重资,把柏林大学建成德国学术中心,从一开始就聘请当时最好的学者如高斯等人,只是高斯拒绝了;后来又邀请雅可比狄利克雷阿贝尔(此时的阿贝尔已经去世)、爱森斯坦等,才逐步使柏林大学成为德国数学发展的中心。大学从此不仅是教学的场所,同时成为科研的基地。柏林大学的成功促使其他大学进行效仿改造,如布列斯劳大学波恩大学

还有一个重大的改革是哲学院地位的提高。在这之前哲学院只是通过给学生补充及加深中学课程的“低级”学院,以进入“高级”学院(特别是神学院及法学院)做准备而设置,教师水平有限,毫无科研能力。此后,哲学院成为专门培养中学教师的学院,有些哲学院的语言学家提出:教学不是种可以教会的艺术,教授的目标不是培养教师而是培养学者。跟着属于哲学院的数学家、物理学家、史学家也采用同样的观点,促使大量培养数学家的体制建立起来。

另外,哲学院的学生人数比例也猛增。哲学院教授的数目增长得更快,到1860年哲学院教授数目已超过另外三院的总和。从这时起全德国有20几所大学,另外还有许多高等技术学院,1900年左右大学的数学教授席位整整50个,远远超过其他国家,而且还有其他的职位可供数学家就业,这在体制上保证了数学的发展。

德国大学生享有学术自由,学生可以根据自己的意愿有选择的进行听课,还可以在不同的大学之间进行流动,毫无疑问地,这对学生开阔眼界很有好处。而对教授来讲也是自由竞争,好教授门庭若市,初出茅庐的、尚未有名气的教授听众甚少,门可罗雀。学生要想进入学术界的第一关是博士学位,这首先得至少听过三年课,通过严格的口试,向大学提交博士论文,经过答辩而取得。而有些学生想当中学教师,只需通过国家考试即可。比如魏尔斯特拉斯就没有博士学位。

如果要在学术界晋升,还需要取得授课资格,为此需要写“为取得大学授课资格的论文”并进行答辩,从取得博士学位到取得授课资格最短一年,最长三四年,有了授课资格可以在大学授课,只是这是编外的讲师,只能靠向学生收取听课费来维持生活(若无可靠的经济来源,靠讲课费,生活是极为拮据的)。当大学有空缺的教授或副教授席位时,才有可能成为政府发工资的副教授和正教授,副教授是非常稀缺的过渡性职位。

德国学术最高的职称是教授,教授工资较高、稳定,可以使数学家专注自己的学术研究,但是从编外教师熬到教授(或副教授)一般得四五年。黎曼1851年拿到博士学位,1854年拿到授课资格,到1857年升为副教授,其间生活到了经常挨饿的程度,回到家乡靠步行。正因为教授职位有限,使得不少人未能从事数学事业。


德国数学发展的最大特点是形成了多个数学中心,在17、18世纪除了莱布尼兹外,并没有具有国际影响的数学家。首个让世人留意到德国数学的人当属数学王子高斯,他的《算术研究》(1801)远远超出了当时数学界水平,他还主要从事天文、物理、测地等工作,同样引起了人们的注意,只是并没有在哥廷根形成一个数学学派。1810年建立的柏林大学,在狄利克雷任教之后,逐步成为一个数学中心。大学生从一个大学到另个大学就读的传统,另外,教授和讲师也经常流动以促进诸大学间的交流。特别是雅可比哥尼斯堡大学任教期间把讨论班的形式引入数学教学形式后来普及到其他大学乃至国外,对数学研究起了很大促进作用。

高斯、狄利克雷、雅可比是德国19世纪上半叶三位最伟大的数学家。19世纪中叶以后,德国数学蓬勃发展,一方面是以莫比乌斯史坦纳史陶特普吕克尔海斯等人为代表的综合几何学解析几何学研究,另一方面是以狄利克雷雅可比库默尔等人为代表的分析学研究,这方面最突出的代表人物是黎曼魏尔斯特拉斯

1855年到1856年库默尔魏尔斯特拉斯克罗内克先后到柏林大学任教,柏林学派正式形成。19世纪末他们相继去世,其接班人富克斯施瓦茨弗洛宾尼乌斯,趋向于专门化,柏林大学的影响已经不能同哥廷根大学同日而语了。哥廷根大学的数学经过狄利克雷、黎曼、克莱布什的经营之后,吸收了大量有前途的数学家。其后有富克斯、施瓦茨等人任教授,1886年克莱茵任教授。克莱茵是最有能力的组织者,1894年聘希尔伯特为教授,从此哥廷根成为国际数学中心。

德国数学的繁荣到1933年希特勒上台后遭到毁灭性打击,大批教授移居国外,国内学者缺少领袖数学家,学术刊物也政治化,特别是比勃巴赫等人办了《德意志数学》,每期刊登元首语录,学生人数减少一半。在大战期间,刊物也大量缩减。许多纯粹数学家也不得不从事军事研究,如哈塞及克鲁尔。第二次世界大战后的极端困难的物质条件更使德国数学奄奄一息,到20世纪50年代,一代新人才使德国数学逐步得到恢复及发展。
英 国

相比法国和德国,英国的数学存在感要弱一些。19世纪英国数学的贡献主要有两个方向:一个是逻辑和代数,该方向有皮科克德·摩根布尔哈密尔顿,到凯莱西尔维斯特达到顶峰,他们发展的线性代数及不变式论是19世纪代数学的主要成就,斯密司克里福德数论及代数方面也有突出贡献;另一个方向是数学物理学。此外还有一个较为孤立的方向是组合论,如寇克曼女生问题以及图论,如四色问题。在后面这个方向多是身兼物理学家的数学家,除哈密尔顿之外,有格林、爱理、亚当斯、斯托克斯、汤姆逊、麦克斯韦、台特、劳斯、瑞利、达尔文、兰姆等人,他们的物理学或天文学成就举世公认,因此往往掩盖了他们的数学成就。实际上,他们的贡献也是第一流的。

19世纪末,英国数学又开始落后,罗素认为英国数学没什么可学,所以他读了三年数学系,把书卖了,转了哲学系,一些年轻数学家再一次向大陆数学界学习,引进当时先进的点集论测度及积分论符号逻辑群论函数论解析数论等。弗赛斯写的《函数论》最早介绍大陆的复变函数论郝伯孙的《实函数论》最早介绍大陆的测度及积分论哈代说过拉夫介绍他看若当的《分析教程》才打开了他的数学眼界。正是由于哈代等人吸收了大陆的先进数学,加上自己的独创研究,使英国在第一次世界大战前后,再一次跻身于世界数学强国之列。

罗素怀特海《数学原理》对数学基础影响更大,其意义远远超出数学之外,在数理逻辑拉姆塞图灵这两位的天才工作至今影响未衰。第二次世界大战以后,传统的领域后继有人。如罗斯贝克尔等在解析数论方面的工作使英国在国际上仍保持领先地位,在新兴的学科出现许多杰出人物,最突出的当推阿提亚,他是多方面的数学大师,在拓扑学、几何学、代数学及分析学方面均有贡献,尤为难能可贵的是在诸领域的交会点上使数学的统一性暴露出来。


本文内容来源于“究尽数学”




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